- •Н.С.Распопова – Математический анализ. Часть 2. Общие методические указания
- •Литература
- •Задания для контрольной работы
- •1. Вычислить неопределенные интегралы
- •2. Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница
- •3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
- •4. Исследовать ряд на сходимость.
- •Методические указания к решению задач неопределенные интегралы и их свойства
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Внесение под знак дифференциала
- •Вычисление интегралов, содержащих квадратный трехчлен
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование по частям
- •Вычисление определенных интегралов. Формула ньютона-лейбница
- •Замена переменных
- •Несобственные интегралы
- •Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости
- •Признак даламбера
- •Радикальный признак коши
- •Интегральный признак коши
- •Признак сравнения
- •Предельный признак сравнения
- •Содержание
Вычисление интегралов, содержащих квадратный трехчлен
и
При вычислении интегралов и используется выделение полного квадрата.
ПРИМЕР 9. Вычислить .
Для квадратного трёхчлена получим
Подставим это выражение в интеграл.
ПРИМЕР 10. Вычислить .
.
ПРИМЕР 11. Вычислить
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование частного от деления многочлена на многочлен, так называемой рациональной дроби, происходит в несколько этапов. Прежде всего, нужно сравнить степени числителя и знаменателя. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь называется неправильной и из неё нужно выделить целую часть. В простых случаях для этого преобразуют числитель, в более сложных делят “уголком”. Для этого записывают оба многочлена, начиная со старшей степени, и делят старшую степень делимого на старшую степень делителя. Процедура деления проводится в той же последовательности, что и деление чисел.
ПРИМЕР 12. Выделить целую часть рациональной дроби .
_ _
__
__
1
Итак, частное равно , а остаток равен 1. Следовательно, . То есть мы разложили неправильную дробь на сумму целой части и правильной дроби .
При затруднениях в выписывании целой части и правильной дроби, полезно рассмотреть какой-нибудь числовой пример.
Н апример, , т.к. .
2
Посмотрите внимательно, куда записано частное 1, остаток 2 и делитель 5. Здесь неправильная дробь 7/5 разложена на сумму целого числа 1 и правильной дроби 2/5.
ПРИМЕР 13. Выделить целую часть рациональной дроби .
-
-
-
-
-
45
.
Таким образом, интеграл от неправильной дроби можно разложить на сумму интегралов от многочлена и правильной дроби.
Чтобы проинтегрировать правильную дробь её нужно разложить на сумму элементарных дробей. Элементарными называют дроби следующих четырёх видов:
1. ,
2. , (n ≥ 2),
3. , где дискриминант < 0, то есть квадратный трёхчлен не имеет действительных корней;
4. , где n ≥ 2, < 0.
Чтобы представить правильную дробь в виде суммы элементарных дробей, сначала нужно разложить знаменатель на линейные и квадратичные множители:
, где квадратные трёхчлены не имеют действительных корней.
Затем правильную дробь раскладывают на сумму элементарных дробей с неопределёнными коэффициентами.
Здесь каждому сомножителю соответствует n дробей, в числителях которых стоят неизвестные пока числа , а степени знаменателей меняются от 1 до n.
Каждому сомножителю в знаменателе раскладываемой дроби соответствуют m элементарных дробей с числителями , а степени знаменателей меняются от 1 до m.
Чтобы найти неопределённые коэффициенты приводят элементарные дроби к наименьшему общему знаменателю и приравнивают полученный числитель к числителю первоначальной дроби.
ПРИМЕР 14. Разложить на элементарные дроби .
Так как знаменатели первой и последней дробей равны, то должны быть равны и числители. То есть
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и решим полученную систему уравнений.
Очевидно, A = -1, B = 2, C = 3, D = -1. Тогда
.
ПРИМЕР 15. Разложить на элементарные дроби .
Используем метод подстановки для вычисления коэффициентов. Эти многочлены должны быть равны при всех значениях . Поэтому при подстановке любого числа в левую и правую части, должны получаться верные равенства. В качестве значений удобно брать корни знаменателя и небольшие целые числа.
x = 1 | 3 = 3B
x = 0 | 4 = 2C
x = -2 | 18 = -18D
x = -1 | 11 = 2A – B + 4C – 4D.
Итак, A = 0, B = 1, C = 2, D = -1, то есть
.
Рассмотрим теперь интегрирование основных элементарных дробей.
1.
2.
3.
Дроби четвертого типа интегрируются аналогично.
ПРИМЕР 16. Вычислить интеграл
Так как дробь неправильная, то начинаем с выделения целой части.
_
_
Разложим правильную дробь на сумму элементарных дробей.
То есть Таким образом
ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл
Выделим целую часть неправильной дроби. Для этого в знаменателе придётся открыть скобки.
-
-
Разложим правильную дробь на элементарные.
Решим эту систему методом Гаусса.
~ ~
~ ~ ~
~
A = 1, B = -2, C = 0, D = 2.