Предельный признак сравнения
Пусть
и
– ряды с положительными членами и
существует предел
.
Тогда эти ряды сходятся или расходятся
одновременно.
Замечание. Предельный признак сравнения применяется обычно, если an является частным двух многочленов. Чтобы подобрать ряд , оставляют только старшие степени переменной и в числителе и знаменателе.
ПРИМЕР 36.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Ряд
=
расходится (
=1).
,
следовательно,
и исследуемый ряд также расходится.
ПРИМЕР 37.
Исследовать
на сходимость ряд
.
сходится
.
Покажем, что ряды и являются равносходящимися.
;
,
следовательно, ряд
сходится.
Замечание. Из следствий замечательных пределов получают цепочку эквивалентных бесконечно малых, которая часто используется при применении предельного признака:
при
.
ПРИМЕР 38.
Исследовать
на сходимость ряд
.
При
является бесконечно малой величиной.
.
Ряд
сходится
,
следовательно, ряд
также сходится.
ПРИМЕР 39.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Ряд
расходится, так как его сумма равна
бесконечности, следовательно, ряд
также расходится.
Содержание
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 3
ЛИТЕРАТУРА 3
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 4
1. Вычислить неопределенные интегралы 4
2. Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница 11
4. Исследовать ряд на сходимость. 15
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 18
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА 18
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ. 19
ВНЕСЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА 21
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 23
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 26
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 36
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА 37
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 39
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 41
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 42
НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ 43
ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА 43
РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ 45
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ 46
ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ 48
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ 51