- •Н.С.Распопова – Математический анализ. Часть 2. Общие методические указания
- •Литература
- •Задания для контрольной работы
- •1. Вычислить неопределенные интегралы
- •2. Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница
- •3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
- •4. Исследовать ряд на сходимость.
- •Методические указания к решению задач неопределенные интегралы и их свойства
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Внесение под знак дифференциала
- •Вычисление интегралов, содержащих квадратный трехчлен
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование по частям
- •Вычисление определенных интегралов. Формула ньютона-лейбница
- •Замена переменных
- •Несобственные интегралы
- •Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости
- •Признак даламбера
- •Радикальный признак коши
- •Интегральный признак коши
- •Признак сравнения
- •Предельный признак сравнения
- •Содержание
Необходимый признак сходимости
Если ряд сходится, то .
Для решения примеров этот признак удобнее применять в следующем виде:
Е сли , то ряд расходится.
Заметим, что если , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся и для его исследования нужно применять другие признаки.
ПРИМЕР 26. Исследовать на сходимость ряд .
0
0
следовательно, ряд расходится.
Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости для положительных рядов.
Признак даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами (an>0 для всех ) и . Тогда, если d > 1, то ряд расходится,
если d < 1, то ряд сходится,
если d = 1, то ряд может, как сходится, так и расходится.
Замечание 1. Признак Даламбера обычно применяется, если аn содержит факториалы и (или) показательную функцию.
Замечание 2. Чтобы получить аn+1, нужно в выражение для аn вставить (n+1) вместо n.
ПРИМЕР 27. Исследовать на сходимость ряд .
следовательно, ряд сходится.
ПРИМЕР 28 .Исследовать на сходимость ряд
,
т.е. ряд расходится.
ПРИМЕР 29. Исследовать на сходимость .
,
т. е. ряд расходится.
Напомним, что – второй замечательный предел.
Радикальный признак коши
Пусть дан ряд с положительными членами (an > 0 для всех n N) и Тогда,
если k > 1, то ряд расходится,
если k < 1, то ряд сходится,
если k = 1, то этот признак не работает.
Замечание. Обычно этот признак применяется, если аn имеет вид или и т.д. При этом показатель корня в признаке Коши всегда n , независимо от показателя степени в an.
ПРИМЕР 30. Исследовать на сходимость ряд .
Напомним, что при извлечении корня
показатели делятся, т.е.
следовательно, ряд расходится.
ПРИМЕР 31. Исследовать на сходимость ряд .
Здесь использовано свойство показательной функции y(x) = ах .
Интегральный признак коши
Пусть члены ряда положительны и не возрастают, а функция f(x) на [k, ]: 1) непрерывна;
2) положительна;
3) не возрастает;
4) f (n) = an.
Тогда ряд и несобственный интеграл являются равносходящимися, то есть сходятся или расходятся одновременно.
ПРИМЕР 32. Исследовать на сходимость ряд .
Так как знаменатель дроби n ln n возрастает при , то убывает. Кроме того, при n > 1 n ln n > 0.
Заменяя n на x, получим функцию , удовлетворяющую всем условиям теоремы. Пределы интегрирования соответствуют пределам изменения n для ряда. Итак, .
Напомним, что .
Если предел существует и конечен, то интеграл (а, следовательно, и ряд) сходится. Если же предел равен , то интеграл (а, следовательно, и ряд) расходится.
То есть и интеграл, и ряд расходятся.
ПРИМЕР 33. Исследовать на сходимость ряд .
=
Интеграл и ряд сходятся.
Признак сравнения
Пусть и – ряды с положительными членами. Если, начиная с некоторого номера выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
З амечание 1. Обычно исследуемый ряд сравнивают с «эталонным» рядом :
сходится при ,
расходится при .
Замечание 2. Признак сравнения приходится применять, если общий член ряда содержит и при этом применение интегрального признака Коши приводит к трудно вычисляемому интегралу.
При этом используются следующие неравенства:
для всех и более «тонкое»:
(для и , то есть x( ), начиная с которого , зависит от ).
ПРИМЕР 34. Исследовать на сходимость ряд .
Воспользуемся неравенством . При переходе к обратным величинам знаки неравенства меняются, то есть . Ряд расходится, так как (необходимый признак), то есть его сумма равна , но исследуемый ряд состоит из меньших членов, следовательно, его сумма может быть как числом, так и .
Рассмотрим ряд из меньших членов = – это «эталонный» ряд с , то есть расходящийся ряд.
Так как и ряд расходится, то по признаку сравнения ряд так же расходится.
ПРИМЕР 35. Исследовать на сходимость ряд .
Воспользуемся неравенством , . Все части неравенства положительны, поэтому их можно возвести в квадрат, и знаки неравенства не изменятся.
Разделим все члены неравенства на . Так как > 0, то знаки неравенства не меняются.
.
Ряд с меньшими членами сходится . Из этого сделать вывод о сходимости или расходимости ряда с большими членами нельзя.
Ряд с большими членами
расходится. Это так же не позволяет сделать определенный вывод о
сходимости исследуемого ряда.
Воспользуемся неравенством
, где
.
При
Ряд сходится при , то есть при , . Числа , удовлетворяющие условию существуют, например, . Итак,
, а этот ряд сходится. Следовательно, и ряд с меньшими членами сходится.