- •Операции над случайными событиями
- •1 Правило суммы и произведения.
- •5. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •8. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •10. Теоремы Муавра-Лапласа
- •13. Дискретная случайная величина и закон ее распределения
- •15. Вероятность и числовые ряды
- •19. 3.2 Геометрическое рапределение
- •Пример 3.2
5. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой
Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),
где АВ – произведение событий А и В.
Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.
Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).
Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В).
Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n
6. Произведение событий. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
7. Условная вероятность. Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.
Условной вероятностью РA (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Исходя из классического определения вероятности, формулу РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0 можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна
РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р(A)>0).