13. Дискретная случайная величина и закон ее распределения

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина , если указано конечное или счетное множество чисел

и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем

Числа называются возможными значениями случайной величины , а числа - вероятностями этих значений ( ).

Таблица

называется законом распределения дискретной случайной величины .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины .

Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

то говорят, что случайная величина имеет биномиальный закон распределения:

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

то говорят, что случайная величина имеет гипергеометрический закон распределения.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

где ;

Закон распределения Пуассона:

где

- положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при , , . Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

где

.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ integral distribution function ]

     (Лат.: integer - нетронутый, незатронутый, невредимый, целый; 1571; integratio - восстановление; 1620).      Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x случайной величины X вероятность того, что величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).      Распределение вероятностей дискретной случайной величины может быть задано перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания неприменим для непрерывных случайных величин. Общим способом задания распределений любых типов случайных величин является интегральная функция распределения. Пусть x - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть вероятность события X < x обозначим через F(x). Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x). Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x. Интегральная функция распределения имеет следующие свойства.      1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку (0,1): 0 і F(x) і 1. Следовательно, график интегральной функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми y = 0, y = 1.      2. F(x) - неубывающая функция, то есть F(x₂) і F(x1), если x₂ > x₁. Следовательно, при возрастании x в интервале (a, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график интегральной функции распределения поднимается вверх.      3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то F(x) = 0 при a і x, F(x) = 1 при x і b. То есть при a і x ординаты графика интегральной функции распределения равны нулю; при x і b ординаты графика равны единице. Для дискретной случайной величины график интегральной функции распределения имеет ступенчатый вид.

14. Характеристики положения случайной величины.

Модой (Мо) случайной величины х называется наиболее вероятное ее

значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам.

Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого

ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину.

Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение для

которого окажется ли случайная величина меньше этого значения.

Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой

площадь под кривой распределяется пополам.

Для дискретной случайной величины значение медианы зависит от того четное или

нечетное значение случайной величины

n=2k+1, то Ме=х_к+1 (среднее по порядку значение)

Если значение случайных величин четное, т.е n=2k, то

Математическое ожидание случайной величины.

Математическим ожиданием случайной величины х (M[x])называется средне

взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают

вероятности появления тех или иных значений.

Для дискретной случайной величины

_645к

Для непрерывной

С механической точки зрения мат. Ожидание это абсцисса центра тяжести системы

точек расположенных по одноименной оси. Размерность мат. Ожидания совпадает с

размерностью самой случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения

и меньше наибольшего.