3.1.2. Дробно-рациональная функция
Определение 3.1. Дробно-рациональной
функцией (или рациональной
дробью) называется функция, равная
отношению двух многочленов, т.е.
,
где
многочлен степени
,
а
многочлен степени
.
Определение 3.2. Рациональная дробь
называется правильной, если
степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е.
,
в противном случае (если
)
рациональная дробь называется
неправильной.
Всякую неправильную рациональную
дробь
можно, путем деления числителя на
знаменатель, представить в виде суммы
многочлена
и правильной рациональной дроби
,
т.е.
.
Данный прием используется при нахождении некоторых интегралов, содержащих рациональную дробь.
Пример 3.1. Найти интеграл
.
Решение. Сначала разделим числитель на знаменатель в столбик:
Значит,
.
Далее находим интеграл:
Определение 3.3. Правильные рациональные дроби вида
(I)
;
(II)
;
(III)
(корни знаменателя комплексные, т.е.
);
(IV)
(
,
корни знаменателя комплексные);
где
действительные
числа, называются простейшими
рациональными дробями I,
II, III
и IV типов.
Сформулируем теорему без доказательства о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей.
Теорема 3.7 (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей).
Всякую правильную дробь , знаменатель которой разложен на множители
,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
(3.4)
,
где
некоторые
действительные коэффициенты.
Например,
.
Для нахождения коэффициентов
в равенстве (3.4) можно применить метод
неопределенных коэффициентов. Суть
метода такова:
1) В правой части равенства (3.4) приводим
к общему знаменателю сумму простейших
дробей. В результате получаем тождество
,
где
многочлен с
неопределенными коэффициентами.
2) Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.
.
3) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, получаем систему уравнений, из которой и определяем искомые коэффициенты.
3.2. Интегрирование рациональных дробей
Выше были введены четыре типа простейших дробей. Найдем интегралы от простейших дробей.
(I)
.
(II)
.
Пример 3.2. Найти интеграл
.
Решение.
(III) Рассмотрим интеграл
.
.
Пример 3.3. Найти интеграл
.
Решение.
.
(IV) Для интеграла
типа
рассмотрим пример.
Пример 3.4. Найти интеграл
.
Решение.
.
Для интегрирования рациональных дробей сформулируем общее правило.
1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Разложив знаменатель правильной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример 3.5. Найти интеграл
.
Решение.
.
Методом неопределенных коэффициентов
найдем
.
;
;
.
Составляем и решаем систему линейных уравнений:
.
Далее находим интеграл:
.