- •Раздел 6
- •Повторение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл
- •1.2. Свойства неопределенного интеграла
- •1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •2. Методы интегрирования
- •2.1. Метод непосредственного интегрирования
- •2.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •2.3. Метод интегрирования по частям
- •3. Интегрирование рациональных,
- •3.1. Понятия о рациональной функции
- •3.1.1. Многочлен
- •3.1.2. Дробно-рациональная функция
- •3.2. Интегрирование рациональных дробей
- •3.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •3.3.1. Интегралы вида
- •3.3.2. Интегралы вида
- •3.4.2. Дробно-линейная подстановка
- •3.4.3. Тригонометрическая подстановка
- •3.4.4. Интегрирование дифференциального бинома
- •3.5. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
- •I. О технике интегрирования
- •II. Использование таблиц интегрирования
- •III. Об интегрировании в элементарных функциях
- •4. Определенный интеграл
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Задача о работе переменой силы
- •4.2. Основные свойства определенного интеграла
- •4.3. Формула НьютонаЛейбница
- •4.4. Вычисление определенного интеграла
- •5. Несобственные интегралы
- •5.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл первого рода)
- •5.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл второго рода)
5. Несобственные интегралы
До сих пор при рассмотрении определенного интегралов считали, что промежуток интегрирования конечен и что подынтегральная функция на нем непрерывна. Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на отрезке , называется еще собственным интегралом. Если хотя бы одно из условий не выполнимо, то интеграл называется несобственным. Собственный интеграл всегда имеет определенное численное значение. В отличие от этого несобственные интегралы не всегда имеют такое значение.
5.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл первого рода)
Определение 5.1. Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел , то его называют сходящимся несобственным интегралом первого рода и обозначают , т.е.
. (5.1)
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :
.
Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами определяются формулой
,
где произвольное число.
Пример 5.1. Дан интеграл . Установить, при каких значениях этот интеграл сходится, а при каких – расходится.
Решение. Предположим, что . Тогда
.
Следовательно, если , то , т.е. данный интеграл сходится.
Если , то , т.е. интеграл расходится.
При имеем , т.е. данный интеграл расходится.
Пример 5.2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
,
интеграл расходится, так как при предел не существует.
Замечание. При вычислении несобственных интегралов с бесконечным промежутком интегрировании часто пользуются символическим равенством
,
где и .
Пример 5.3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
,
т.е. данный интеграл расходится.
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет. Приведем без доказательства один из признаков сходимости.
Теорема 5.1 (признак сравнения). Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию , то
1) если сходится интеграл , то сходится и интеграл ;
2) если расходится интеграл , то расходится и интеграл .
Пример 5.4. Доказать, что интеграл сходится.
Доказательство. Так как при и интеграл
сходится, то исходный интеграл также сходится.
5.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл второго рода)
Определение 5.2. Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при . Если существует конечный предел , где , то его называют сходящимся несобственным интегралом второго рода и обозначают , т.е.
. (5.2)
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то полагают
.
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
.
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба предела, стоящих справа существуют.
Пример 5.5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
.
Следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 5.6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
.
Следовательно, данный интеграл сходится.