III. Об интегрировании в элементарных функциях

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции является также элементарной функцией, говорят, что «берется», т.е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Например, нельзя найти интеграл , так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна . Приведем примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

 интеграл Пуассона (теория вероятностей);

 интегральный логарифм (теория чисел);

 интегралы Френеля (физика);

 интегральные синус и косинус.

Первообразные от функций и других хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента .

4. Определенный интеграл

4.1. Понятие определенного интеграла

Мощным средством решения класса прикладных задач в математике, физике, технике и в других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Рассмотрим задачи, которые приводят к этому понятию.

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью , сбоку – прямыми и , называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Умножим значение функции на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой . Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры, которая приближенно равна площади криволинейной трапеции:

.

С уменьшением всех длин точность приближения ступенчатой фигуры к криволинейной трапеции и точность полученной формулы увеличивается. За точность значения площади криволинейной трапеции принимается предел , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры , когда неограниченно возрастает так, что :

.

Задача о работе переменой силы

Пусть материальная точка перемещается под действием силы , направленной вдоль оси и имеющей переменную величину , где  абсцисса движущейся точки .

Найдем работу силы по перемещению точки вдоль оси из точки в точку . Для этого отрезок точками , где , разобьем на частичных отрезков , , …, . Сила, действующая на отрезке , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции в произвольно выбранной точке . Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению .

Приближенное значение работы силы на всем отрезке есть

.

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина . Поэтому за точное значение работы принимается предел полученной суммы при условии, что наибольшая длина  частичных отрезков стремится к нулю:

.

Задача о пройденном пути:

,

где  промежуток времени,  значение мгновенной скорости в момент времени .

Задача о наполнении сосуда:

,

где  промежуток времени,  значение переменной скорости наполнения в момент времени .

Все полученные выражения при решении различных задач, имеют одинаковую структуру. Аналогичные выражения получаются и во многих других задачах, что дает основания для следующего общего определения, в котором введем понятие «определенный интеграл».

Пусть функция определена на отрезке , причем . Разобьем отрезок на частичных отрезков , , …, . В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. . Далее составляем сумму :

, (4.1)

где  длина соответствующего частичного отрезка.

Сумма вида (4.1) называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через  длину наибольшего из частичных отрезков, т.е. , . Найдем предел интегральной суммы (4.1), когда так, что .

Определение 4.1. Определенным интегралом от функции на отрезке называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число частичных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю. Определенный интеграл обозначается символом . Таким образом,

. (4.2)

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,  подынтегральной функцией,  подынтегральное выражение,  переменной интегрирования, отрезок  областью (отрезком) интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла (без доказательства).

Теорема 4.1 (теорема Коши). Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечной число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

1) Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

2) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

.

3. Для любого действительного числа : .

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции на отрезке численно равен площади криволинейной трапеции  фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , сбоку – прямыми и :

.

Физический смысл определенного интеграла: работа переменной силы , которая есть непрерывная функция, действующая не отрезке , равна определенному интегралу от величины силы , взятому на отрезке .

.