3.4.2. Дробно-линейная подстановка

Интеграл вида , где  действительные числа,  натуральные числа, , приводится к интегралу от рациональной функции путем подстановки , где  наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей .

Пример 3.11. Найти интеграл:

1)

.



3.4.3. Тригонометрическая подстановка

Для интегралов следующих видов используется соответствующие тригонометрические подстановки:

1) если , то используется подстановка или ;

2) если , то используется подстановка или ;

3) если , то используется подстановка или .

Пример 3.12. Найти интеграл:

. 

Интегралы вида находятся следующим образом: выделяется под радикалом полный квадрат, делается подстановка . Указанный интеграл сводится к одному из интегралов , и .

3.4.4. Интегрирование дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома , где  действительные числа,  рациональные числа, можно привести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок П.А. Чебышева в следующих трех случаях:

1) если  целое число, то подстановка , где  наименьшее общее кратное знаменателей дробей и ;

2) если  целое число, то подстановка , где  знаменатель дроби ;

3) если  целое число, то подстановка , где  знаменатель дроби .

Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».

Пример 3.13. Найти интеграл: .

Решение. Так как , то . Поэтому делаем подстановку . Таким образом,

.



3.5. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы

I. О технике интегрирования

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Всякий раз частные обстоятельства должны подсказать тот искусственный прием, который в данном случае быстрее приводит к цели. Владение операцией интегрирования заключается не только в знании того, как можно, в конце концов найти данный интеграл, но и в умении взять его с минимумом затраченного времени и труда.

Например, можно найти, не используя рекомендуемую подстановку , а применив искусственный прием:

.

Вряд ли стоит вычислять интеграл , разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби. Заметив, что числитель является производной знаменателя , легко получить:

.

II. Использование таблиц интегрирования

Изученные методы интегрирования состоят в преобразованиях, приводящих данный интеграл к интегралу, заранее известному, т.е. находящемуся в известной таблице интегралов. До сих пор пользовались только самой краткой  основной таблицей интегралов. Но ясно, что чем более полной таблицей интегралов мы имеем возможность пользоваться, тем проще и короче делается само интегрирование.

В практических целях часто употребляются различные справочники и готовые таблицы особенно часто встречающихся интегралов.