- •Раздел 6
- •Повторение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл
- •1.2. Свойства неопределенного интеграла
- •1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •2. Методы интегрирования
- •2.1. Метод непосредственного интегрирования
- •2.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •2.3. Метод интегрирования по частям
- •3. Интегрирование рациональных,
- •3.1. Понятия о рациональной функции
- •3.1.1. Многочлен
- •3.1.2. Дробно-рациональная функция
- •3.2. Интегрирование рациональных дробей
- •3.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •3.3.1. Интегралы вида
- •3.3.2. Интегралы вида
- •3.4.2. Дробно-линейная подстановка
- •3.4.3. Тригонометрическая подстановка
- •3.4.4. Интегрирование дифференциального бинома
- •3.5. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
- •I. О технике интегрирования
- •II. Использование таблиц интегрирования
- •III. Об интегрировании в элементарных функциях
- •4. Определенный интеграл
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Задача о работе переменой силы
- •4.2. Основные свойства определенного интеграла
- •4.3. Формула НьютонаЛейбница
- •4.4. Вычисление определенного интеграла
- •5. Несобственные интегралы
- •5.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл первого рода)
- •5.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл второго рода)
3.3. Интегрирование тригонометрических функций
3.3.1. Интегралы вида
Рассмотрим некоторые случаи нахождения неопределенных интегралов от тригонометрических функций. Функции, содержащие и , над которыми выполняются рациональные операции (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать , где знак рациональной функции.
Вычисление неопределенного интеграла вида сводится к вычислению интеграла от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.
В этом случае:
, , , .
Поэтому
,
где рациональная функция от .
Пример 3.6. Найти следующие интегралы:
1) ;
2)
.
Универсальная подстановка часто приводит к довольно громоздким рациональным дробям и потому на практике применяется не очень часто. В некоторых случаях лучше применить другие подстановки. В частности удобны следующие правила:
1) если функция нечетная относительно , т.е. , то используется подстановка , которая рационализирует интеграл;
2) если функция нечетная относительно , т.е. , то используется подстановка ;
3) если функция четная относительно и , т.е. , то используется подстановка . Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .
Пример 3.7. Найти интеграл .
Решение.
.
3.3.2. Интегралы вида
Для нахождения интегралов данного вида используются следующие приемы:
1) подстановка , если целое положительное нечетное число;
2) подстановка , если целое положительное нечетное число;
3) формулы понижения порядка: , , , если и целые неотрицательные четные числа;
4) подстановка , если есть четное отрицательное число.
Пример 3.8. Найти следующие интегралы:
1)
.
2)
.
Надо отметить, что этот же интеграл можно найти, представив в виде и раскрыв в числителе скобки.
3.3.3. Интегралы вида
Интегралы вида , и вычисляются с помощью следующих тригонометрических формул:
,
,
.
Пример 3.9. Найти интеграл .
Решение.
3.4. Интегрирование иррациональных функций
3.4.1. Интегралы иррациональных функций, содержащих
квадратный трехчлен в знаменателе
Рассмотрим некоторые виды интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы вида и называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделяется полный квадрат и делаем подстановку, в результате чего приходим к табличным интегралам.
Пример 3.10. Найти интегралы:
1)
.
2)
.
Интеграл вида можно вычислить, пользуясь формулой
,
где многочлен степени , многочлен степени с неопределенными коэффициентами, также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства
,
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной .
Интеграл вида целесообразно находить с помощью подстановки .