Контрольные вопрсы и задания

1. Доказать формулу S_n = 1² + 2² + 3² + … + n² = = n(n +1)(2n +1) /6.

2. Обозначим H_n = 1 + 1/2 + 1/3 +…+ 1/n – гармонические числа. Доказать, что Н_n неограниченно сверху, т.е. что Н_n  + ( ).

3. Доказать, что любую сумму денег более 7 копеек можно уплатить монетами достоинством 3 и 5 копеек.

4. Найти формулы для вычисления:

а)

б)

Доказать формулы и утверждения (5 – 13).

5.

6. .

7. При любом х  1, .

8. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ делится на 9.

9. Выражение делится без остатка на 9.

10. Число диагоналей выпуклого n-угольника k = n(n –2) /2.

11. Последовательность а_n = (n корней) возрастает.

12. cos cos 2… cos 2ⁿ = .

13.

14. .

15. .

16.

17.

18.

2. Множества. Операции над множествами

Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества – это те предметы, из которых состоит множество.

Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это обозначается аА, а если b не принадлежит А, то – bА. Например, пусть А – множество четных натуральных чисел, тогда 6А, а 3А.

Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хА, то хB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В. Обозначается: АВ ( – символ нестрогого включения, т.е. возможно совпадение множеств). Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А. Это можно записать в виде

(АВ и ВА)  (А = В).

Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому надо детально разобраться в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство включения АВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

( x  А)   (x  В).

2. Доказательство равенства А = В. Оно сводится к доказательству двух включений А  В и В  А.

Определим следующие операции над множествами.

1. Объединение. Пусть А и В – произвольные множества. Их объединением называется множество С = А  В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

2. Пересечение. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих А и В. Обозначается так: C = A  B.

3. Разность. Разность множеств А и В – это множество С (С = А \ В), состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Если В  А, то разность С = А \ В называется дополнением В до А.

Считается, что все множества включены в некоторое множество U, которое называют универсальным множеством. В этом случае дополнение какого-либо множества А до U обозначается С(А) или .

4. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В – это множество

С = А  В = (А \ В)  (В \ А).

Задача 1. Доказать, что для любых множеств A₁, A₂, . . . , A_n если справедливы включения A₁  A₂  ...  A_n  A₁, то A₁ = A₂ = ... =A_n.

Решение.

Задача 2. Доказать тождество

(AB) \ C = (A \ C)(B \ C) = A(B \ C) = (AB)\(AC).

Решение.

1) Пусть x(AB)\C, тогда xAB и xC. Так как x принадлежит пересечению, то он принадлежит каждому из множеств. Следовательно, xA и xC, что означает xA\C. Аналогично из xB и xC следует, что xB\C. Так как x принадлежит обоим множествам, то x(A\C)(B\C). Следовательно, (AB)\C (A\C)(B\C).

2) Покажем теперь, что (A\C)  (B\C) A (B\C). Так как x(A\C)(B\C), то xA\C и xB\C, а, следовательно, xA, xB и xC. Поэтому xB\C и xA, что и означает требуемое.

3) Пусть xA(B\C), тогда xA, xB и xC. Следовательно, xAB и xAC. Но тогда по определению разности x(AB)\(AC).

4) Пусть теперь x(AB)\(AC), покажем, что x(AB)\C. Из условия следует, что xAB и xAC. Первое свойство означает, что xA и xB, второе - xA или xC. Так как при xA получим противоречие, то остается лишь случай xC. Поэтому имеем xA, xB и xC. Но тогда xAB и xC и, следовательно, x (AB)\C.

Таким образом, доказана цепь включений

(AB)\C  (A\C)(B\C)  A(B\C)  (AB)\(AC)  (AB)\C.

Для завершения доказательства остается воспользоваться результатами задачи 1.

Задача 3. Доказать тождество

A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Решение. Воспользовавшись свойством дистрибутивности и результатами задачи 2, получим

A(BD) = A((B\D)(D\B)) = (A(B\D))(A(D\B)) =

= ((AB)\(AD))((AD)\(AB)) = (AB)  (AD).

Задача 4. Доказать, что A  (B  C)  A  B и A  C;

Решение. Докажем, что из A(BC) следует AB и AC. Для этого необходимо показать, что если выполнено включение посылки, т.е. ABC, то выполняются и оба включения следствия.

Пусть xA, тогда по условию xBC, а, следовательно, xB и xC. Поэтому справедливы включения AB и AC.

Докажем обратное следствие. Пусть выполнены оба включения AB и AC. То есть из xA вытекает, что xB и xC. Но это означает, что xBC. Следовательно, требуемое включение доказано.

Задача 5. Решить систему уравнений .

Решение. Так как A\X=B, то BA, XB=, A\BX и AXB. Выполнение первых двух свойств очевидно.

Докажем справедливость третьего включения. Пусть xA\B, тогда xA и xB. Покажем, что xX. Предположим противное, т.е. xX, тогда из B=A\X получим xB, что противоречит условию. Следовательно, xX.

Так как BA, то A=(A\B)B. Из этого равенства и условия A\BX следует, что AXB.

Аналогично из X\B=A следует, что CX, AC=, XAC и X\CA. Так как A\BX и CX, то (A\B)CX. Кроме того, из XAC, BA и XB= следует, что X(A\B)C. Поэтому X=(A\B)C, где BA и AC=.