Контрольные вопросы и задания

1. Найти взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на отрезок [a, b].

2. Отобразить взаимно однозначно луч [0, +) на всю числовую прямую.

3. Построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок [0, 1].

4. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом E={(x, y) | x² +y² < 1} и множеством точек плоскости, являющемся дополнением к замкнутому единичному кругу (замкнутый круг – K={(x, y) | x² +y²  1}.

5. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.

6. Установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и прямой.

7. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой с одной выколотой точкой и плоскостью.

8. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой и плоскостью.

9. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и множеством всех натуральных чисел.

10. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и множеством натуральных чисел.

11. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел и множеством всех последовательностей натуральных чисел.

12. Установить взаимно однозначное соответствие между

множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел и множеством всех бесконечных двоичных дробей, которые соответствуют числам интервала (0, 1].

13. Верно ли утверждение: "Если A ~ C, B ~ D, причем A  B, C  D, то A \ B ~ C \ D"?

14. Пусть A  C, B  D, C  D ~ C. Доказать, что A  D~A.

15. Верно ли утверждение: "Если A ~ B, C  A, C  B, то C \ A ~ C \ B"?

16. Верно ли утверждение: "Если A ~ B, A  C, B  C, то A \ C ~ B \ C"?

17. Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

18. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы и координаты центра которых – рациональные числа, счетно.

19. Какова мощность множества всех многочленов, коэф-фициентами которых служат корни многочленов с целыми коэф-

фициентами (алгебраические числа).

20. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

21. Пусть E – какое-либо несчетное множество положительных чисел. Доказать, что найдется такое число  > 0, что множество E (–, +) несчетно.

22. Доказать, что множество всех стационарных последовательностей натуральных чисел счетно. Последовательность называется стационарной, если она состоит из одинаковых элементов.

23. Определить мощности следующих множеств:

а) множество всех треугольников на плоскости, координаты вершин которых выражаются рациональными числами;

б) множество корней многочленов с целыми коэффициентами;

в) множество вещественных чисел от 0 до 1, в десятичном представлении которых 7 стоит на 3-м месте (т.е. числа вида 0.ab7cd...).

24. На числовой прямой задано неограниченное счетное множество Е. Доказать, что всегда существует вещественное число z, что сдвинув множество Е на z вправо, получим новое множество Е₁, которое будет иметь пустое пересечение с Е.

25. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке [a, b] и разрывных хотя бы в одной точке этого отрезка?

26. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b]?

27. Какова мощность множества всех монотонных функций на отрезке [a, b]?

28. Показать, что множество всех перестановок натурального ряда  N имеет мощность континуума.

29. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

30. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?