Контрольные вопросы и задания
1. Доказать, что нестрогое включение обладает свойством рефлексивности: A A.
2. Показать, что {{1,2}, {2,3}} {1, 2, 3}.
3. Доказать, что для любых множеств A1, A2, . . . , An если справедливы включения A1 A2 ... An A1, то A1 = A2 = ... =An.
4. Доказать, что А В = (А В) \ (А В).
5. Доказать, что множество корней многочлена (x) = = f(x)(x) есть объединение множеств корней многочленов f(x) и (x).
6. Доказать, что пересечение множеств действительных корней многочленов f(x) и (x) совпадает с множеством действительных корней многочлена (x) = f 2 (x) + 2 (x).
Доказать тождества (7 – 17).
5. (AB) (CD) = (AC) (BC) (AD) (BD).
6. (A \ B) (B \ C) (C \ A) (A B C) = A B C.
7. A \ (BC) = (A \ B)(A \ C) = (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \C).
8. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).
9.(AB) \ C = (A \ C)(B \ C) = A(B \ C) = (AB)\(AC).
10. (AB) \ C = (A \ C) (B \ C).
11. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C).
12. A (B C) = (A B) (A C).
13. A (B C) = (A B) C.
14. A B = B A. 16. A B = A B (A B).
15. A (A B) = B. 17. A \ B = A (A B).
Доказать включения (18 –24).
18. [ (B \ C) \ (B \ A) ] A \ C.
19. A \ C [(A \ B) (B \ C)].
20. [(A C) (B D)] [(A B) (C D)].
21. [(A1 A2 . . . An) (B1 B2 . . . Bn)]
[(A1 B1) (A2 B2) . . . (An Bn)].
22. [(A1 A2 . . . An) (B1 B2 . . . Bn)]
[(A1 B1) (A2 B2) . . . (An Bn)].
23. [(A1 \ A2) (B1 \ B2)] [(A1 B1) (A2 B2)].
24. A B [(A C) (B C)].
25. Вытекает ли из A \ B = C, что A = B C?
26. Вытекает ли из A = B C, что A \ B = C?
27. Верны ли равенства:
а) A (B \ C) = (A B) \ C; б) (A \ B) C = (A C) \ B?
Если нет, то в какую сторону имеет место включение?
28. Доказать равносильность включений A \ B C и A
(B C).
29. Доказать включение
[(
) \
(
)]
.
Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства.
30. Доказать включения:
а) A B [(A C) (B C)];
б) [(A B) F] [(A F) (B F)];
в) [(A B) (C D)] [(A C) (B D)].
Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства.
31. Доказать, что:
а) A B (A C) (B C);
б) A B (A C) (B C);
в) A B (A \ C) (B \ C);
г) A B (C \ B) (C \ A);
д) B A (A \ B) B = A;
е) (A B) C = A (B C) C A;
ж) A (B C) A B и A C;
з) (A B) C A C и B C;
и) (A B) C A C(B) C;
к) A (B C) (A C(B)) C;
Доказать тождества (32–36).
32. C(A \ B) = C(A) B.
33. A \ B = A C(B).
34. (A B) (A C(B)) (C(A) B) = A B.
35. (A B) (A C(B)) = (A B) (A C(B)) = A.
36. C[C(C(X) Y) (X C(Y))] = Y \ X.
37. Упростить выражение C[C(X Y) (C(X) C(Y))].
38. Доказать, что:
а) A B = A = B;
б) A B = A B = A B;
в) A B = C B C = A C A = B.
39. Определить операции , , \ через:
а) , ; б) , ; в) \, .
40. Пусть A, B и C – данные множества. Решить системы уравнений:
а)
г)
б)
д)
в)
е)
