3. Отображения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X и Y – два произвольных множества. Говорят, что на X определено отображение f, принимающее значения из Y (f : X Y), если каждому элементу x из X ставится в соответствие единственный элемент y = f(x) из Y.

Множество элементов xX, для которых определено отображение f, называется областью определения f и обозначается _f.

Если имеется какой-либо элемент хX, то соответствующий ему элемент yY будем называть образом x. Пусть A – некоторое подмножество множества X (AX), образ множества A определяется как множество образов элементов множества A и обозначается f(A), т.е. f(A) = {f(x) | xA}. Образ области определения называется областью значений отображения f и обозначается _f (т.е. _f = f(_f) = f(X)).

Если задать yY, то множество соответствующих ему x, т.е. таких, что y = f(x), будем называть прообразом y и обозначать f ^-1(y), f ^-1(y) = {xX | y = f(x)}. В общем случае обратное отображение f ^-1 неоднозначно. Пусть B – некоторое подмножество множества Y (BY), прообраз множества B определяется как множество прообразов элементов множества B и обозначается f ^-1(B), т.е. f ^-1(B) = { xA | f(x)=y, y  B}.

Отображение i : X  X такое, что i(x) = x для любого xX называется тождественным отображением.

Пусть f : X  Y и g : Y  Z. Отображение h : X  Z, такое, что каждому элементу xX ставится в соответствие единственный элемент h(x) = g(f(x)), называется композицией (или суперпозицией) отображений f и g и обозначается g о f.

Отображение f : X  Y называется сюръекцией X на Y, если множество образов всех элементов из X совпадают с множеством Y. Это обозначается как f(X) = Y. Другое эквивалентное определение сюръекции – это отображение, при котором каждый элемент из Y имеет прообраз в множестве X.

Если для любых x₁, x₂X таких, что x₁  x₂, получается, что f(x₁)  f(x₂), т.е. разным элементам соответствуют различные образы, то это отображение f называется инъекцией.

Отображение f, которое является одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией, или взаимно однозначным отображением. 

Если между А и В установлено биективное отображение, то говорят, что множества А и В эквивалентны. Эквивалентность множеств обозначается A ~ B.

Легко видеть, что эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности, т.е. если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Признаки эквивалентности множеств дают следующие

ТЕОРЕМЫ Кантора-Бернштейна.

1. Если A  B  C, причем A ~ C, то A ~ B.

2. Если A эквивалентно подмножеству множества B, а B эквивалентно подмножеству множества A, то A ~ B.

Задача 1. Доказать, что f(A)  B  A  f ^-1(B).

Решение.

1) Пусть  f(A)B и xA. Тогда f(x)f(A), а в силу f(A)B справедливо f(x)B, что означает xf ^-1(B). Следовательно, A f ^-1(B).

2) Докажем, что f(A)B при условии Af ^-1(B). Пусть yf(A),  это значит, что y=f(x), где xA. Из включения Af ^-1(B) следует, что xf ^-1(B). Тогда y=f(x)f(f ^-1(B)) = B. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Можно ли построить сюръективное отображение вида

множества целых чисел на множество рациональных чисел, где коэффициенты a₀, a₁, . . . , a_т, b₀, b₁, . . . , b_ь - целые числа?

Решение.

Такое отображение построить нельзя. Любая функция f(x), представимая в виде частного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел при x. Если f(x) = q < , то существует такое N, что для всех k, таких, что |k|>N, выполнены неравенства q-1< f(x)< q+1. Если отображение f является сюръекцией, то конечное множество целых чисел k : |k|  N отображается на бесконечное множество рациональных чисел r, лежащих в множестве (- ,q-1][q+1,+), что невозможно. Следовательно, не для каждого рационального r существует прообраз в множестве целых чисел.

 Если f(x) = , то рассуждения аналогичны (в этом случае конечное множество целых чисел k, таких, что |k|  N, отображалось бы на множество рациональных чисел отрезка [-A, A], что невозможно. Следовательно, это отображение также не является сюръективным.