3. Каузальные фильтры

Каузальный цифровой фильтр – фильтр, который работает в реальном масштабе времени и для которого выполняется условие причинности – выходной сигнал не может возникнуть раньше входного сигнала. Далее рассмотрены казуальные КИХ и БИХ фильтры.

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр).

Выходной сигнал КИХ-фильтра ( зависит только от входного сигнала (фильтр является нерекурсивным) и описывается соотношением:

где – импульсная характеристика фильтра;

– коэффициенты фильтра;

– порядок фильтра (число коэффициентов ).

Основные свойства КИХ-фильтров:

1. устойчивость (все полюса системной функции фильтра равны 1);

2. возможность обеспечения линейной ФЧХ;

3. малая чувствительность к шуму округления и ошибкам квантования;

4. относительная простота реализации и расчета (коэффициенты фильтра равны отсчетам импульсной характеристики).

5. требуются большие порядки фильтров для обеспечения требуемых частотных характеристик (по сравнению с БИХ-фильтрами);

6. большое количество вычислительных операций (сложение и умножение).

Линейность ФЧХ КИХ-фильтра соблюдается при условии симметрии импульсной характеристики КИХ-фильтра. Различают четную и нечетную симметрию []. В зависимости от порядка фильтра и типа симметрии выделяют 4 типа КИХ фильтров, которые представлены в таблице Таблица 2.3.3.1.

1. – Типы симметричных КИХ-фильтров

Тип	Порядок фильтра	Тип симметрии
1	Четный	Четная	Заданный	Заданный
2	Нечетный	Четная	Заданный	0
3	Четный	Нечетная	0	0
4	Нечетный	Нечетная	0	Заданный

Из таблицы Таблица 2.3.3.1 очевидно, что КИХ-фильтр 1 и 2 типа может быть использован в качестве ФНЧ.

Отметим, что линейность ФЧХ означает постоянное значение фазовой и групповой задержки. Для фильтров 1 и 2 типа справедливо соотношение

где – число коэффициентов фильтра.

Цель синтеза КИХ фильтра – определение значений импульсной характеристики (коэфициентов , которые удовлетворяют спецификациям фильтра. Выделяют 3 способа синтеза КИХ фильтров.

1. Метод взвешивания – наиболее простой способ вычисление коэффициентов КИХ фильтра, основан на усечении идеальной импульсной характеристики при помощи взвешивающих окон (Прямоугольного, Блэкмана, Кайзера и др.). Недостатки метода: невозможность получения точных значений граничных частот, получаемый фильтр, удовлетворяющий спецификации, имеет завышенный порядок.

2. Метод частотной выборки – позволяет разрабатывать фильтры с произвольными амплитудно-частотными характеристиками, а также реализовывать КИХ-фильтры в эффективной рекурсивной форме. Недостатки метода: не позволяет точно контролировать граничные частоты и неравномерность в полосе пропускания, а также порядок фильтра.

3. Оптимизационные методы – позволяет рассчитывать оптимальные (по Чебышеву) коэффициенты КИХ-фильтров с заданными характеристиками и порядком фильтра. Оптимизационные методы позволяют рассчитывать фильтры с равными равномерно распределенными отклонениями в полосе пропускания и полосе подавления соответственно (рисунок Рисунок 2.3.3.1.1). Кроме того, оптимизационные методы позволяют минимизировать эти отклонения для данных граничных частот и порядка фильтра.