2. – Диаграмма для оценки порядка эллиптического фильтра

Оценка порядка фильтра реализована в функции MATLAB ellipmord().

Проведем расчет эллиптического БИХ-фильтра с помощью средств MATLAB, скрипт по расчету представлен в приложении Б.

Алгоритм расчета эллиптического БИХ-фильтра:

1. Задание параметров (определены в таблице Таблица 2.3.2.2).

2. Определение оптимального порядка фильтра с помощью ellipmord().

3. Расчет коэффициентов фильтра с помощью ellip().

4. Определение реальных параметров рассчитанного фильтра с помощью freqz().

Для определения оптимальных сочетаний с точки зрения вносимой фазовой задержки , построим номограмму изменения (представлена на рисунке Рисунок 2.3.3.3.3).

3. – Подбор параметров эллиптического бих-фильтра

Из рисунка Рисунок 2.3.3.3.3 видим, что зависимость для эллиптических фильтров существенно нелинейна. Кроме того, условию спецификации фильтра удовлетворяет множество эллиптических БИХ-фильтров. Поэтому было рассмотрено несколько сочетаний , фильтры и рассчитанные для них параметры представлены в таблице Таблица 2.3.3.4, частотные характеристики фильтров представлены на рисунке Рисунок 2.3.3.4.1.

4. – Сравнение минимально-фазовых КИХ-фильтров

тип фильтра	, дБ		, дБ	град.
фильтр 1 ()	-15	-50	0	-75	2
фильтр 2 ()	-20.2	-21	0	-86	2
фильтр 3 ()	-20	-88.8	0	-100	2
фильтр 3 ()	-25.2	-26	0	-111	2

1. – Сравнение частотных характеристик бих-фильтров

В таблице Таблица 2.3.3.4 указаны задаваемые параметры фильтра () в столбце «Тип фильтра» и полученные параметры: коэффициент подавления в полосе задерживания , коэффициент подавления на частоте – , коэффициент усиления на нулевой частоте , фазовая задержка на частоте , порядок фильтра .

По результатам анализа таблицы Таблица 2.3.3.4 и частотных характеристик на рисунке Рисунок 2.3.3.4.1 видим, что для фильтра 2 баланс между качеством подавления в полосе задерживания и фазовой задержкой на частоте является оптимальным. Фильтр 3 также обладает выдающимися параметрами, кроме того, обеспечивает значительное подавление на частоте .

4. Сглаживающие фильтры

Существует класс сглаживающих фильтров, которые осуществляют приближение экспериментальной кривой с помощью определенных функций. Примеры таких фильтров: скользящее среднее, сплайны, фильтр Савицкого-Голея. Далее рассматривается фильтр Савицкого-Голея как наиболее широко используемый вид сглаживающего фильтра в цифровой обработке сигналов.

Фильтр Савицкого-Голея основан на аппроксимации -го отсчета сигнала с помощью полинома степени . Пусть отсчет – середина окна длиной отсчетов, где –половина ширины сглаживающего окна, а отсчеты расположены с равномерным шагом. Тогда может быть заменен на как

Задача состоит в определении вектора коэффициентов , которые могут быть найдены по критерию минимума среднеквадратичной ошибки (метод наименьших квадратов (МНК)).

С учетом того, что интервал симметричен и центрирован относительно , вычисление осуществляется как

Однако, в общем случае интервал может быть несимметричен и нецентрирован.

Вычисление следующего выходного отсчета осуществляется сдвигом окна на один отсчет, повторным вычислением коэффициентов и вычислением .

Савицкий и Голей в [] показали, что каждое сглаженное значение может быть получено как линейная комбинация отсчетов на сглаживающем интервале и вычислена как дискретная свертка

Такой подход значительно сокращает сложность вычислений заменяя необходимость вычисления полиномиальной аппроксимации на дискретную свертку.

Для того, чтобы показать эквивалентность такой замены, рассмотрим процесс расчета оптимальных коэффициентов полинома с помощью МНК. Обозначим – формирующая матрица размерностью , имеет вид

где

Обозначим входной вектор . Тогда искомый вектор коэффициентов может быть выражен

Отметим, что матрица зависит только от и не зависит от . С другой стороны, как показано в (), для вычисления требуется знание , которое может быть получено произведением нулевой строки матрицы на вектор .

Далее существует 2 подхода для построения фильтра Савицкого-Голея.

1. Фильтр Савицкого-Голея с переменными коэффицентами.

Из () и () получим:

где – элементы нулевой строки матрицы . При каждом перемещении окна сглаживания рассчитываются новые значения импульсной характеристики .

Таким образом, фильтр Савицкого-Голея с переменными коэффицентами есть КИХ-фильтр с переменными коэффициентами, которые рассчитаны МНК. Эффективные процедуры по расчету только нулевой строки матрицы представлены в [].

2. Фильтр Савицкого-Голея с постоянными коэффициентами.

Данный вариант фильтра Савицкого-Голея имеет независимые от входного сигнала коэффициенты (отсчеты импульсной характеристики ), обозначим эти коэффициенты . Расчет коэффициентов может быть получен как отклик на единичный импульс

где – вектор столбец, размерностью .

Таким образом, фильтр Савицкого-Голея с постоянными коэффициентами есть КИХ-фильтр, коэффициенты которого рассчитаны с помощью МНК. Поскольку выше показано, что оптимальные КИХ-фильтры с точки зрения характеристик в частотной области могут быть получены с помощью оптимизационных методов, далее рассматриваются фильтр Савицкого-Голея с переменными коэффициентами.

Как показано в [], ключевые достоинства фильтра Савицкого-Голея с переменными коэффициентами:

1. плоскость частотной характеристики в полосе пропускания;

2. умеренное затухание в полосе подавления;

3. нулевой сдвиг фаз.

Одним из недостатков фильтра Савицкого-Голея является малая крутизна частотной характеристики, а, следовательно, слабое подавление гармонических составляющих с частотой близкой к несущей.

Связь частоты среза и параметров фильтра (половина ширины окна сглаживания и порядок аппроксимирующего полинома ) может быть определена через эмпирическую формулу, которая справедлива для и :

График номограммы для определения частоты среза представлен на рисунке .

5. Некаузальные фильтры

(добавить описание)

4. Проверка алгоритма оценки параметров на модельном и реальном сигнале

Результаты оценки параметров модельных сигналов представлены в таблице Таблица 2.4.1.1.

1. – Оценка эффективности применения различных фильтров

(переформатировать в читаемый вид)