К.р. №2 5 вариант

Задача 75.Построить график функциипреобразованием графика функции y = sinx:

Решение

Произведём построение поэтапно:

1) построим график ф-ции

2)построим график ф-ции:для этого произведём сжатие графика вдоль OXв 2раза

3)построим график ф-ции: для этого произведём сдвиг графика вдоль OXвлево на 2.

4)построим график ф-ции: для этого произведём сжатие графика вдоль OYв ¾раза. И отобразим график зеркально

_Задача 85. Дана функция на отрезке

Требуется: 1) Построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая φ значения через промежуток π/8 начиная от φ = 0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

Решение

Составим таблицу значений:

	0
r	5	≈4,07	≈2,66	≈1,75	1,25	≈0,97	≈0,91	≈0,82	≈0,74

≈0,71	≈0,74	≈0,82	≈0,91	≈0,97	1,25	≈1,75	≈2,66	≈4,07	5

Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы . Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:

2. Подставляя и в уравнение заданной линии, получим

Полученное уравнение есть уравнение эллипса.

Задача 95. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Решение

а) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на.

Получим

;

так как при функции , и – бесконечно малые функции.

б) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, т.е. имеем неопределенность . Избавимся от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель на :

в) Применем 1-ый замечательный предел.

_г)

Применим 2-ой замечательный предел.

_{Задача 1}05. Заданы функцияи два значения аргумента

Требуется: 1)установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

Решение

Для x=8 ;; функция непрерывна, т.к. ф-ция определена и является элементарной.

Для x=6ф-циянеопределенна и является разрывной

;

Задача 115. Задана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение

Очевидно, что и являются точками, подозрительными на разрыв, так как функция в них не определена. В остальных точках функция непрерывна, так как на каждом из интервалов , , она определена и является элементарной.

Вычислим односторонние пределы в подозрительных точках:

; ;

; .

Поскольку то не является точкой разрыва. В точке функция имеет разрыв с конечным скачком, так как .

Построим график с учетом проведенного исследования.