- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2. Правила дифференцирования
- •3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
- •5. Производная неявно заданной функции
- •Свойства дифференциала.
- •10. Остаточный член формулы Тейлора
- •11. Вывод формулы Тейлора
- •13. Экстремум необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1.
2. Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:
3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок). Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде
y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде
Производные:
Графики
Рис. 5. Графики гиперболических функций и . Рис. 3. Графики гиперболических функций и . График гиперболического косинуса называется цепной линией, которая является линией провисания тяжёлой нити, подвешенной в двух точках.
Гиперболический синус и гиперболический косинус определяются аналитическими выражениями
Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси и тождественно удовлетворяют следующим соотношениям, которые легко проверяются непосредственным вычислением:
Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определяются формулами
и представляют собой нечетные функции:
4 .
5. Производная неявно заданной функции
Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения
Производная обратной функции
Дифференцируемая монотонная функция f: ]a, b[ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f -1, производная которой вычисляется по формуле
6. Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
Можно также записать:
Инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим сложную функцию y=f(u(x)). Пусть функции y=f(u), u=u(x) дифференцируемы, тогда
Таким образом, если аргументом функции является функция другого аргумента, то форма дифференциала совпадает с формой дифференциала (7), когда аргументом функции является независимая переменная. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.