- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2. Правила дифференцирования
- •3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
- •5. Производная неявно заданной функции
- •Свойства дифференциала.
- •10. Остаточный член формулы Тейлора
- •11. Вывод формулы Тейлора
- •13. Экстремум необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.
10. Остаточный член формулы Тейлора
В форме Лагранжа:
В форме Пеано:
при
Многочлен Тейлора порядка n
11. Вывод формулы Тейлора
Предположим, что в рассматриваемой области функция имеет все частные производные до порядка включительно. Рассмотрим прямую , соединяющую фиксированную внутреннюю точку с произвольной точкой и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего с , также принадлежат :
при
Рассмотрим ограничение функции на прямую (точнее, на её часть, лежащую в пределах области ) и параметризуем это ограничение параметром . Получим функцию одного переменного :
К функции можно применить обычную (приведённую выше) формулу Тейлора в точке :
|
|
где -- некоторая точка отрезка между 0 и . Если , то также принадлежит отрезку . Отсюда при получаем
|
(9.1) |
где .
Очевидно, что . Посмотрим, как производные
выражаются через частные производные функции .
Для нахождения воспользуемся формулой производной сложной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
При получаем
|
(9.2) |
|
(9.3) |
Вычислим теперь , для чего найдём :
|
|
|
|
|
|
|
|
Положив в этой формуле , получаем:
|
(9.4) |
Каждое последующее дифференцирование, как нетрудно понять, будет увеличивать на единицу количество суммирований от 1 до , порядок частных производных функции , вычисленных в точке , а также количество сомножителей-биномов вида . Для третьей производной получаем
|
|
а для производной порядка --
|
(9.5) |
Правая часть формулы (9.5) содержит слагаемых, в каждом из которых множитель. Точно так же выписывается и выражение, задающее :
|
(9.6) |
где .
12. Формулы Маклорена некоторых элементарных функций.
1) f(x)=e^x
f '(x)=f "(x)=…=f(n+1)(x)=e^x
f(0)=f '(0)=f "(0)=…=f(n+1)(0)=1
(5)
2) f(x)=sinx
(6)
3) f(x)=cosx
(7)
13. Экстремум необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.
Теорема 1 (необходимое условие существования экстpeмума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x = х2 максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. e. f' (х2) = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству 1 ( ).
Функция называется убывающей (невозрастающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству 2 ( ).
ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда
1) если функция возрастает (убывает) на , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна),
т.е. , ( , );
2) если производная на интервале положительна (отрицательна), т.е.
, ( , ),
то функция на возрастает (убывает).
14. Выпуклость и вогнутость функции, точка перегиба
Определение 7. Говорят, что кривая выпуклая (обращена выпуклостью вверх) на интервале (a, b), если в каждой точке этого интервала касательная расположена выше кривой. Говорят, что кривая вогнутая (обращена выпуклостью вниз) на интервале (a, b), если в каждой точке этого интервала касательная расположена ниже кривой.
Теорема 22.
Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a, b). Если f''(x) < 0 (f''(x ) > 0) на (a, b), то кривая y = f(x) выпуклая (вогнутая) на (a, b).
Определение 8. Точка на кривой, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Теорема 23.
П усть функция y = f(x) дважды дифференцируема на (a, b), кроме, быть может, числа x0 (a,b). При x = x0 функция f либо непрерывна и не имеет второй производной, либо дважды дифференцируема и f''(x0) = 0. Если при переходе через x0 вторая производная функции f меняет знак, то (x0, f(x0)) – точка перегиба.
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .
15. Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .
Производные:
Графики
Рис. 5. Графики гиперболических функций и . Рис. 3. Графики гиперболических функций и . График гиперболического косинуса называется цепной линией, которая является линией провисания тяжёлой нити, подвешенной в двух точках.
Гиперболический синус и гиперболический косинус определяются аналитическими выражениями
Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси и тождественно удовлетворяют следующим соотношениям, которые легко проверяются непосредственным вычислением:
Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определяются формулами
и представляют собой нечетные функции:
1
2