Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Кафедра информатики

А. В. Борзенков

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

MATLAB

Конспект лекций

для студентов всех специальностей БГУИР дневной формы обучения

Минск БГУИР 2009

УДК 517.2(076)+004.43 ББК 22.161.1я7

Б82

Р е ц е н з е н т:

профессор кафедры высшей математики БГУИР Р. М. Жевняк

Борзенков, А. В.

Б82 Дифференциальные уравнения в частных производных. MATLAB: конспект лекций для студ. всех спец. БГУИР днев. формы обуч. / А. В. Борзенков. – Минск : БГУИР, 2009. – 120 с.: ил.

ISBN 978-985-488-429-5

Издание посвящено дифференциальным уравнения в частных производных, подходам к их моделированию, аналитическим и некоторым численным методам их решения. Подробно разобраны примеры компьютерного моделирования в среде

MATLAB.

УДК 517.2(076)+004.43 ББК 22.161.1я7

	ISBN 978-985-488-429-5	© Борзенков А. В., 2009
	государственный	© УО «Белорусский
		университет информатики
		и радиоэлектроники», 2009

2

СОДЕРЖАНИЕ
ОТ АВТОРА ......................................................................................................................................	5
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛА КОШИ...............................................................................................	6
§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ...................................................................................................	6
§2. ФОРМУЛА КОШИ ........................................................................................................................	7
§3. СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА. СТРУКТУРА МАТРИЦЫ КОШИ.............................................................	9
§4. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛЫ КОШИ .............................................................................	11
§5. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ ПРЯМЫХ....................................................................................................	13
ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ..	19
§1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА..................................................................................................	19
§2. ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ....................................................................................	20
§3. ВАРИАЦИЯ КРИВОЙ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА .......................................................................	21
§4. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ................................................................................................................	23
§5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ................................	26
§6. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА .......................	27
§7. ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПОСТАНОВКА
ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ................................................................................................................	30
§8. ВАРИАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА............................................................	31
§9. УРАВНЕНИЕ ОСТРОГРАДСКОГО ................................................................................................	33
§10. ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА...............................................................................	37
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ...................................................................................	39
§1. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА........	39
§2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ............................................................................	43
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА.................................	46
§1. ПРЯМОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ...................................................	46
§2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ......................................................................	47
§3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА..............	49
§4. МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ............................................................	52
§5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ. ......................	57
§6. СОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПОВ. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ....................................................................	60
§7. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ....................................	70
ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА.................................	76
§1. ПРЯМОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ ....................................................	76
§2. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ................................................................	78
§3. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ..............................	84
§4. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ............................................................	86
§5. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ ....................................................................................................................................	91

3

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ..........................................................	95
§1. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ............................................	95
§2. ТИПЫ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА....................................................................	97
§3. КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА.....................................................................	99
§4. СХЕМА РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ НА КРУГЕ ...................................................	100
§5. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ПУАССОНА .........................	104
§6. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ....................................	106
§7. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ..............................................	108
§8. МЕТОД РИТЦА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ..........................................	114
ЛИТЕРАТУРА................................................................................................................................	120

4

От автора

В пособии рассмотрены три основных линейных дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка – параболическое, гиперболическое, эллиптическое. И соответственно постановки краевых задач и задач Коши для этих уравнений. В качестве общего аналитического подхода для

исследования краевых задач выбран метод разложения решения по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля. Для исследования задач Коши на

состояниях параболического и гиперболического уравнений рассмотрены метод интегрального преобразования Фурье и метод Д'Аламбера соответственно. Для

линейных уравнений в частных производных первого порядка и задачи Коши разобран метод характеристик.

Теоремы существования и единственности решений краевых задач приведены в классическом понимании. Однако, поскольку классическое

решение предъявляет очень высокие требования к гладкости контура и функций, было рассмотрено понятие обобщенного решения и обобщенных производных. Задачи, полученные моделированием реальных процессов, а не идеализированные модели, исследуются именно в терминах обобщенных решений.

Отдельное внимание уделено подходам к моделированию диффе- ренциальных уравнений. Наряду с примерами прямого моделирования

параболического и гиперболического уравнений рассмотрен вариационный подход к моделированию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Собственно, появление второй главы, посвященной вариационным задачам, во многом обусловлено именно этим. Кратко рассмотрена задача оптимального управления. Применение принципа

максимума Понтрягина для поиска решения задач данного класса вновь приводит к появлению дифференциальных уравнений и их систем.

За всеми математическими результатами и внешне сухими формулами всегда стоят конкретные люди. Поэтому было сочтено необходимым кратко изложить биографии математиков, чьи имена приведены в пособии.

Из численных подходов к решению дифференциальных уравнений кратко приведен метод прямых, позволяющий свести задачи для уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Также

приведен метод Ритца сведения краевой задачи с самосопряженным оператором к численному решению вариационной задачи.

Отдельное внимание уделено исследованию дифференциальных уравнений в среде программирования MATLAB и ее инструментария PDE (Partial Differential Equations). Материал каждой главы рассмотрен на специальных примерах программирования.

Автор признателен сотрудникам редакторской группы Тамаре Николаевне Крюковой и Елене Николаевне Батурчик за плодотворное сотрудничество. Автор благодарен Светлане Митрахович за помощь в компьютерном оформлении материала.

А. В. Борзенков

5

УДК 517.2(076)+004.43 ББК 22.161.1я7

Б82

Р е ц е н з е н т:

профессор кафедры высшей математики БГУИР Р. М. Жевняк

Борзенков, А. В.

Б82 Дифференциальные уравнения в частных производных. MATLAB: конспект лекций для студ. всех спец. БГУИР днев. формы обуч. / А. В. Борзенков. –

Минск : БГУИР, 2009. – 120 с.: ил. ISBN 978-985-488-429-5

Издание посвящено дифференциальным уравнения в частных производных, подходам к их моделированию, аналитическим и некоторым численным методам их решения. Подробно разобраны примеры компьютерного моделирования в среде

MATLAB.

УДК 517.2(076)+004.43 ББК 22.161.1я7

ISBN 978-985-488-429-5	© Борзенков А. В., 2009
	© УО «Белорусский государственный
	университет информатики
	и радиоэлектроники», 2009

СОДЕРЖАНИЕ
ОТ АВТОРА..................................................................................................................................................	5
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛА КОШИ .......................................................................................................	6
§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ............................................................................................................	6
§2. ФОРМУЛА КОШИ...................................................................................................................................	7
§3. СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА. СТРУКТУРА МАТРИЦЫ КОШИ ..................................................................	9
§4. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛЫ КОШИ ....................................................................................	11
§5. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ ПРЯМЫХ ............................................................................................................	13
ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА...	19
§1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ..........................................................................................................	19
§2. ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ............................................................................................	20
§3. ВАРИАЦИЯ КРИВОЙ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА..............................................................................	21
§4. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ..........................................................................................................................	23
§5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ....................................	26
§6. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА..........................	27
§7. ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПОСТАНОВКА
ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ..........................................................................................................................	30
§8. ВАРИАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА..................................................................	31
§9. УРАВНЕНИЕ ОСТРОГРАДСКОГО.........................................................................................................	33
§10. ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ......................................................................................	37
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА...........................................................................................	39
§1. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА .........	39
§2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ...................................................................................	43
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА....................................	46
§1. ПРЯМОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ .......................................................	46
§2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.............................................................................	47
§3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА................	49
§4. МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ .................................................................	52
§5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ..........................	57
§6. СОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПОВ. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ...........................................................................	60
§7. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ........................................	70
ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА....................................	76
§1. ПРЯМОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ .........................................................	76
§2. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ......................................................................	78
§3. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ .................................	84
§4. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО
СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ .................................................................	86
	3

§5. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ................................................................................................................................................	91
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ................................................................	95
§1. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ ................................................	95
§2. ТИПЫ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА..........................................................................	97
§3. КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА...........................................................................	99
§4. СХЕМА РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ НА КРУГЕ ........................................................	100
§5. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ПУАССОНА............................	104
§6. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ........................................	106
§7. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ..................................................	108
§8. МЕТОД РИТЦА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ..............................................	114
ЛИТЕРАТУРА...........................................................................................................................................	120

4

От автора

Впособии рассмотрены три основных линейных дифференциальных уравнения

вчастных производных второго порядка – параболическое, гиперболическое, эллиптическое. И соответственно постановки краевых задач и задач Коши для этих уравнений. В качестве общего аналитического подхода для исследования краевых задач выбран метод разложения решения по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля. Для исследования задач Коши на состояниях параболического и

гиперболического уравнений рассмотрены метод интегрального преобразования Фурье и метод Д'Аламбера соответственно. Для линейных уравнений в частных производных первого порядка и задачи Коши разобран метод характеристик.

Теоремы существования и единственности решений краевых задач приведены в классическом понимании. Однако, поскольку классическое решение предъявляет очень высокие требования к гладкости контура и функций, было рассмотрено понятие обобщенного решения и обобщенных производных. Задачи, полученные моделированием реальных процессов, а не идеализированные модели, исследуются именно в терминах обобщенных решений.

Отдельное внимание уделено подходам к моделированию диффе- ренциальных уравнений. Наряду с примерами прямого моделирования

параболического и гиперболического уравнений рассмотрен вариационный подход к моделированию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Собственно, появление второй главы, посвященной вариационным задачам, во многом обусловлено именно этим. Кратко рассмотрена задача оптимального управления. Применение принципа

максимума Понтрягина для поиска решения задач данного класса вновь приводит к появлению дифференциальных уравнений и их систем.

За всеми математическими результатами и внешне сухими формулами всегда стоят конкретные люди. Поэтому было сочтено необходимым кратко

изложить биографии математиков, чьи имена приведены в пособии.

Из численных подходов к решению дифференциальных уравнений кратко приведен метод прямых, позволяющий свести задачи для уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Также

приведен метод Ритца сведения краевой задачи с самосопряженным оператором к

численному решению вариационной задачи.

Отдельное внимание уделено исследованию дифференциальных уравнений в среде программирования MATLAB и ее инструментария PDE (Partial Differential Equations). Материал каждой главы рассмотрен на специальных примерах программирования.

Автор признателен сотрудникам редакторской группы Тамаре Николаевне Крюковой и Елене Николаевне Батурчик за плодотворное сотрудничество. Автор

благодарен Светлане Митрахович за помощь в компьютерном оформлении материала.

А. В. Борзенков

5