Контрольные вопросы

1. Дайте определение средней величины. Что она характеризует?

2. Перечислите виды степенных и структурных средних величин. В каких единицах измерения они выражаются?

3. Объясните правила применения простой и взвешенной средней арифметической величины.

4. Перечислите математические свойства средней арифметической величины.

5. В каких случаях применяются другие виды средних величин?

6. В чем заключается правило мажорантности средних величин?

7. Дайте определение моды и объясните способы ее расчета в дискретном и интервальном вариационных рядах.

8. Дайте определения: медианы, квартиля и дециля. Объясните способы их расчета в дискретном и интервальном вариационных рядах.

9. Как в интервальном вариационном ряду моду, медиану, квартили и децили определяют графически?

10. Что характеризуют коэффициенты асимметрии и эксцесса?

11. Какие показатели вариации Вы знаете? Как они рассчитываются и что характеризуют?

12. Перечислите математические свойства дисперсии.

13. Какие существуют способы расчета дисперсии?

14. Какие виды дисперсии вы знаете? В чем заключается правило сложения дисперсий?

15. Как рассчитываются средняя величина и дисперсия альтернативного признака?

16. Что характеризует эмпирическое корреляционное отношение?

Тема 6. Выборочное наблюдение

Выборочным называется несплошное наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергается не вся исходная совокупность, а специально отобранная ее часть.

Средняя (стандартная) ошибка выборки ( ) характеризует среднюю величину возможных расхождений средней выборочной величины ( ) и генеральной средней ( ), т. е. справедливо соотношение .

Предельная ошибка выборки ( ) рассчитывается по формуле

,

где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t-кратную среднюю ошибку, т. е. всегда будет выполняться неравенство

.

Значения коэффициента доверия при соответствующей вероятности:

Вероятность, %	68,3	95,0	95,4	99,0	99,7	99,9
Коэффициент доверия, t	1,00	1,96	2,00	2,58	3,00	3,28

Виды методов отбора единиц в выборочную совокупность: повторный и бесповторный.

Виды способов организации отбора единиц в выборочную совокупность: собственно-случайный; механический; типический; серийный.

Формулы для расчета средней ошибки выборки:

Вид отбора	Метод отбора	Средняя ошибка выборки
		для средней	для доли
Собственно-случайный	повторный
	бесповторный

О к о н ч а н и е

Механический	повторный
	бесповторный
Типический	повторный
	бесповторный
Серийный	повторный
	бесповторный

где – дисперсия выборочной совокупности;

N – число единиц генеральной совокупности;

n – число единиц выборочной совокупности;

w – доля единиц совокупности, обладающих данным альтернативным признаком в выборочной совокупности;

– средняя из внутригрупповых дисперсий;

r – число отобранных серий;

R – число серий в генеральной совокупности;

– межгрупповая дисперсия;

– средняя из внутригрупповых дисперсий для доли;

– межсерийная дисперсия для доли.

Пример 1. В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семьях города была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. Получено распределение семей:

Число детей в семье, чел.	Количество семей, единиц
0	800
1	2 500
2	1 200
3	400
4	100
Итого	5 000

С вероятностью 99,9% определить пределы, в которых находится среднее число детей в семьях города.

Решение. Все предварительные расчеты представим в таблице:

Число детей,	Количество семей,
0	800	0	0
1	2 500	2 500	2 500
2	1 200	2 400	4 800
3	400	1 200	3 600
4	100	400	1 600
Итого	5 000	6 500	12 500

Рассчитаем среднюю величину и дисперсию выборочной совокупности

= 1,3 чел.

= 2,5.

= = 2,5 – (1,3)² = 0,81.

Вычислим предельную ошибку выборки

= = = 0,0126 (чел.).

Находим пределы генеральной средней величины

1,3 – 0,0126 1,3 + 0,0126,

т. е. с вероятностью 99,9% можно утверждать, что в среднем на каждые три семьи в городе приходится 4 ребенка.

Пример 2. Проводился 10% бесповторный типический отбор работников предприятия с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности. Получены следующие результаты обследования:

№ отдела	Численность работников, чел.	Обследовано, чел.	Число дней временной нетрудоспособности за год
			средняя	дисперсия
1	2 000	200	18	49
2	3 000	300	12	25
3	1 000	100	15	16

С вероятностью 95,4 определить предельную ошибку выборки.

Решение. Вычислим среднюю величину в выборочной совокупности

= 14,5 дней.

Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий

= 31,5.

Предельная ошибка выборки рассчитывается следующим образом:

= 0,435 (дней),

т. е. с вероятностью 95,4% можно сделать вывод о том, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного работника в целом по предприятию находится в пределах от 14,065 до 14,935 дней.

Необходимая численность единиц выборочной совокупности определяется из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки.

Виды выборки	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно случайная Механическая	n =	n =
Типическая	n =	n =
Серийная	n =	n =

Пример 3. В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического бесповторного отбора.

Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 68,3% предельная ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225?

Решение. Определим необходимую численность выборки

агентств.

Для проведения обследования должно быть отобрано не менее 20 агентств.