8.5.1. Вывод преобразований Лоренца

Для вывода преобразований Лоренца рассмотрим в двух системах отсчета мысленный опыт. Одна система К - неподвижна, другая К' движется вдоль оси х со скоростью V. Пусть в момент времени t = t' = 0, когда начала систем координат совпадали, в этом начале произошла вспышка света и стала распространяться сферическая световая волна. В соответствии с постулатом I фронт этой волны будет сферой в обеих системах отсчета, сфера эта будет, в соответствии с постулатом II, увеличивать свой радиус со скоростью света и в той, и в другой системе отсчета.

Опираясь на эти требования, найдем вид правильных преобразований координат и времени. В качестве пробного возьмем преобразование Галилея, а затем его подправим. Фронт световой волны в системе К - это сфера радиуса ct:

x² + y² + z² = c²t²:

В системе К' уравнение фронта этой волны, в соответствии с постулатами I и II

(x')²+(y')²+(z')²=c² (t')²,

пробуем преобразования Галилея, переходим в К:

(x')² = (x - Vt)², (y')² = y², (z')² = z², (t')² = t²,

отсюда следует:

x² - 2Vxt + V²t² + y² + z² = c²t²,

сравните с

(x')²+(y')²+(z')² = c²(t')².

Появились ЛИШНИЕ ЧЛЕНЫ, надо так изменить преобразования, чтобы они исчезли. Пробуем преобразования:

x' = x- Vt, y'=y, z'=z, t'=t-αx x² - 2Vxt + V²t² + y² + z² = c²t² - 2c²αxt + c²α²x²

приравниваем подчеркнутые члены, получаем:

При таком α остается:

Перегруппируем члены:

Подправим преобразование так, чтобы исчезли выражения в скобках, для этого возьмем

Такие преобразования сохраняют вид уравнения фронта световой волны, сфера преобразуется в сферу, в соответствии с постулатами С.Т.О. Обозначим, для удобства записи,

тогда преобразования Лоренца запишутся так:

а) прямые		б) обратные
;		;
;		;
;		;
;		.

Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

8.6. Следствия из преобразований Лоренца

8.6.1. Одновременность событий в разных системах отсчета В системе K' одновременно (в момент времени t'), нo в разных местах (x'₁ и, x'₂) произошли два события.

Время первого события в системе К:

,

второго

.

Видно, что t₂> t₁, т. к. x'₂>x'₁.      В системе К события не одновременны.

8.6.2. Промежуток времени между двумя событиями

Пусть в системе К' в одной и той же точке с координатой х' происходят в моменты времени t'₁ и t'₂ два события (например, две вспышки света). В этой системе промежуток времени между событиями: В системе К:

.

.

Т.к. γ   всегда больше единицы, то Δt > Δt'.

8.6.3. Длина тела в разных системах отсчета

Пусть стержень длины l₀ лежит вдоль оси x' в системе К'. Как измерить его длину в системе К, относительно которой он движется?

Мы, в системе К, должны в один и тот же момент времени t (по чаcам системы К) измерить координаты начала и конца стержня. Их разница и будет длиной движущегося стержня. Тогда:

,

.

8.6.4. Преобразование скоростей

Пусть материальная точка движется в системе К со скоростью . Система K' движется со скоростьюотносительно K.

.

Компоненты скорости материальной точки (3.8.2.):

Т.к.

;

То

;      ;.

Это формулы релятивистского преобразования скоростей, они дают связь между компонентами скорости частицы в различных системах отсчета: в системе K и в движущейся со скоростью V системе K'.

8.7. Релятивистская динамика

8.7.1. Релятивистский импульс

В классической механике   (4.5),  при v << c.

В релятивистской механике, где v → c,

.

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем γ.

8.7.2. Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в классической (4.6)

но      

8.7.3. Релятивистское выражение для энергии

8.7.3.1. Энергия покоя

При скорости материальной точки v=0

8.7.3.2. Кинетическая энергия (энергия движения)

.

8.7.3.3. Релятивистский инвариант

Из (8.7.3) и (8.7.1) следует, что

- inv, инвариант,

т.е. не зависит от выбора системы отсчета.

Электричество

9. Постоянное электрическое поле

10. Постоянный электрический ток

9. Постоянное электрическое поле

9.1. Электрический заряд

9.1.1. Электрический заряд - определение

Электрический заряд - характеристика частиц, определяющая интенсивность их электромагнитного взаимодействия.

9.1.2. Два вида зарядов

Существует два вида электрических зарядов, условно называемых положительными и отрицательными.

9.1.3. Взаимодействие зарядов разных знаков

	Заряды разных знаков притягиваются друг к другу,
		заряды одного знака отталкиваются.

9.1.4. Элементарные частицы - носители заряда

Носителями заряда являются элементарные частицы, заряд элементарных частиц, если они заряжены, одинаков по абсолютной величине e = 1.6·10^-19 Кл.

9.1.5. Электрон имеет отрицательный заряд (-е), протон - положительный (+е), заряд нейтрона равен нулю. Из этих частиц построены атомы любого вещества. Суммарный заряд атома равен нулю.

9.1.6. Закон сохранения заряда утверждает:

В электрически изолированной системе суммарный заряд не может изменяться.

9.1.7. Релятивистская инвариантность заряда означает, что его величина, измеренная в различных инерциальных системах отсчета, оказывается одинаковой. Или: Величина заряда не зависит от скорости, с которой он движется.

9.2. Взаимодействие точечных зарядов

9.2.1. Точечный заряд - модель заряженного тела, сохраняющая три его свойства: положение в пространстве, заряд и массу. Или: точечный заряд - это заряженное тело, размерами которого можно пренебречь.

9.2.2. Закон Кулона Взаимодействие двух точечных неподвижных зарядов в вакууме описывается законом Кулона:

.

В системе СИ

,

ε₀ = 8.85 ·10^-12 Ф/м.

Закон Кулона в системе СИ

.

9.2.3. Единица заряда в системе СИ - кулон Один кулон (1 Кл) определяется через единицу силы тока, см. (10.1).

9.2.4. Принцип суперпозиции утверждает, что сила взаимодействия двух зарядов не изменится, если к ним добавить еще какие либо заряды. Для зарядов на рисунке это значит, что ине зависят от присутствия заряда q₃, ине зависят от присутствия заряда q₂, аналогично - ине завися от заряда q₁.

Значит, результирующую силу, действующую на любой заряд, можно найти как векторную сумму сил попарного взаимодействия зарядов. Для заряда q1 результирующая сила , аналогично и для остальных зарядов: