5.Четырехмерное пространство-время. Интервал между событиями.
Из преобразований Лоренца следует важный вывод, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Кроме того, пространственные и временные преобразования не являются независимыми - устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Иными словами, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.
В классической механике каждое событие характеризовалось тремя пространственными координатами (x,y,z) и параметром - временем t, причем расстояние между двумя точками трехмерного пространства
l12 = [(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]1/2 является инвариантом по отношению к галилеевым преобразованиям координат - эта величина не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.
В релятивистской механике величина l12 не является инвариантом относительно той, которая называется энергией покоя.
Чтобы
охарактеризовать прочность связей
системы частиц (например, атомного ядра
как системы, состоящей из нуклонов)
вводят понятие
энергии связи. Энергия связи
равна работе, которую необходимо
затратить, чтобы разложить систему на
составные части (например, атомное
ядро на нуклоны): Есв
=
moic2
- Moc2,
где moi
- масса покоя i-частицы в свободном
состоянии, Mo
- масса покоя системы, состоящей из
n-частиц.
Таким инвариантом оказывается интервал между двумя событиями.
s12=[c2(t2-t1)2-(x2-x1)2-(y2-y1)2-(z2-z1)2]1/2=[c2t122-l122]1/2 (8)
где t12=t2-t1.
Инвариантность интервала означает, что несмотря на относительность длин и промежутков времени течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета, а пространство и время органически связаны между собой, образуя четырехмерный мир пространство-время
Вопрос19: Основной закон релятивисткой динамики матер. Точки. Закон взаимосвязи массы и энергии.
Основной закон релятивистской механики
Основной закон динамики Ньютона F = dp/dt = d(mv)/dt инвариантен относительно преобразований Лоренца , если учесть, что p = mv = mov - релятивистский импульс материальной точки. Таким образом, основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид F = d[mov]/dt = dp/dt. (9)
Отметим, что релятивистский импульс р и релятивистская сила F не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой. Действительно, ускорение, сообщаемое материальной точке силой F равно a = dv/dt = F/m - (v/m)(dm/dt) = (1/m)[F - (Fv)] и, следовательно, в отличие от классической механики, в релятивистской механике ускорение материальной точки в общем случае не совпадает по направлению с силой, вызывающей этой ускорение. Вектор а коллинеарен силе F только в двух случаях:
1.сила F направлена перпендикулярно к скорости v (поперечная сила), так что (Fv)=0 и a=F/m=(F/mo)-1;
2. сила F направлена параллельно вектору скорости v (продольная сила), так что v(Fv)=v2F и a=(F/m)-2= (F/mo)-3/2.
Продольная сила сообщает материальной точке ускорение в 2 раз меньшее, чем такая же по величине поперечная сила. Это связано с тем, что поперечная сила вызывает изменение скорости точки только по направлению (модуль скорости и релятивистская масса m точки не изменяются), а продольная сила вызывает изменение значения модуля скорости точки и ее массы.
В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: в замкнутой системе релятивистский импульс не изменяется с течением времени.
При v<<c уравнение (9) переходит в основной закон классической механики F=ma.
Закон взаимосвязи массы и энергии
Если учесть, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе сил на этом перемещении dWk = dA = Fdr, то можно получить dWk = d[moc2] = c2dm, т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы. Эйнштейн обобщил это положение, предположив, что оно справедливо и для полной энергии частицы dE = c2dm или, проинтегрировав, E = mc2 = moc2. (10)
Последнее уравнение выражает фундаментальный закон природы - закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии (в полную энергию не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле). Можно установить связь между Е и импульсом частицы E2 = m2c4 = mo2c4 + p2c2.
Отметим, что покоящееся тело также обладает энергией Eo = moc2, (11)