Вопрос 27:Вынужденные гармонические колебания, дифференциальное ур-ние, его решение, резонанс.

Чтобы в реальной колебательной системе получались не затухающие колебания надо компенсировать потери энергии, такая компенсация возможна с помощью какой- либо периодически действующей силы, изменяющейся по гармоническому закону: если мы рассматриваем механические колебания, то рольx(t) играет внешняя вынуждающая сила, изменяющаяся по закону:

Колебания совершающиеся под действием внешней периодически действующей силы называются вынужденными колебаниями. В этом случае колебания описываются дифференциальным ур-нием:

(1)

- коэффициент затухания; - собственная частота системы;F₀- амплитуда вынуждающей силы. Уравнение (1) является неоднородным и общее решение неоднородного ур-ния равно сумме общего решения соответствующего однородного ур-ния и какого-либо частного решения неоднородного ур-ния. Общее решение однородного ур-ния имеет вид : (2) (см. «затухающие колебания»);A₀ и - произвольные постоянные. Остается найти частное решение(1) (не содержащее произвольных постоянных), для этого воспользуемся приемом: прибавим к функции стоящей в правой части (1) мнимую функциюпосле этого воспользуемся формулой Эллера () и представим правую часть (1) в виде. Таким образом получаем:

(3). Это ур-ние легче решить, так как экспоненту проще дифференцировать и интегрировать, чем тригонометрические функции. Будем искать частное решение (3) в виде: (4). Эта функция также комплексная, поэтому надx ставим «крышечку», здесь А- некоторое комплексное число. продифференцировав эту функцию по t получаем:

Подставляем (4) и (5) и (3)- это приводит после сокращения на к алгебраическому ур-нию:

мы нашли значение при котором (4) удовлетворяет (3). Теперь представим комплексное число, стоящее в знаменателе в показательной форме:

Согласно правилам комплексного исчисления: Замена в (6) в соответствии с (7):

Подставив это значение в (4) получим частное решение (3):

Подставив это значение в (4) получим частное решение (3):

Наконец взяв вещественную часть этой функции получим решение частное решение (1):

Подстановка в эту формулу значение f₀ и значений приводит к окончательному результату.

Эта функция не содержит произвольных постоянных, значит (2) в сумме с (9) являются решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний (1).

Решение дифференциального ур-ния с помощью векторной диаграммы.

Получим частное решение (1) с помощью векторной диаграммы. Предположим, что частное решение имеет вид: (10). Тогда:

Подстановка выражений из (10)-(12) в (1) приводит к :

из (13) следует, что постоянные A и должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функциябыла равна сумме трех гармонических функций стоящих в левой части ур-ния.

Если изобразить вектором длины,направленным вправо, то функция

изобразится вектором длины , повернутым относительно векторапротив часовой стрелки на, а функция- вектором длины, повернутым относительно на угол. Чтобы (13) было решено сумма 3-х перечисленных векторов должна совпадать с вектором изображающим функциюиз 1-го рисунка видно, что такое совпадение возможно при значении А, которое определяется условием:

1) Если частота вынужденных колебаний ,тогда

2)

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению называется явлением резонанса.