Вопрос 15: Кинетическая энергия тв. Тела, совершающего вращательное движ.

(по теореме Штейнера)

Кинетическая энергия вращения абсолютно твердого тела вращающегося около неподвижной оси z с угловой скоростью  равна W_вр = J_z²/2, где J_z - момент инерции тела относительно оси z. Сравнивая последнее выражение с выражением для кинетической энергии движущегося тела W_k=mv²/2, можем сделать вывод, что момент инерции - это мера инертности тела при вращательном движении.

Если цилиндр скатывается с наклонной плоскости без скольжения, то кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения W_k=mv_c²/2 + J_c²/2, где m - масса тела, v_c - скорость центра массы тела, J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр массы,  - угловая скорость тела.

Вопрос16: преобразования Галилея. Механический принцип относительности. Неинерциальная с о.

Рассмотрим две системы отсчета k (с координатными осями х, y , z) и K (с координатными осями X, Y, Z), движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно со скоростью u, направленной вдоль радиуса-вектора r_o=ut, проведенного из o в O (рис.1a). Связь между координатами произвольной точки в обеих системах:

r=R+r_o=R+ut, (1a)

или x=X+u_xt,y=Y+u_yt,z = Z + u_zt, (1b)

где u_x, u_y, u_z - проекции вектора u на оси.

Уравнения (1) называются преобразованиями координат Галилея. Мы в дальнейшем будем рассматривать случай, когда система K движется со скоростью v вдоль положительного направления оси x системы k (рис.1b). Для этого случая переход от одной инерциальной системы к другой может быть записан в виде

k K: X= x - vt, Y= y, Z= z,

Kk:x=X+vt,y=Y,z=Z. (1с)

Кроме того, в классической механики считается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е. преобразования (1) следует дополнить уравнением t = T. (1d)

Продифферинцировав выражения (1a-c) по времени, получим правило сложения скоростей в классической механике v=V+u, (2a)

откуда можно получить правило преобразований ускорения a = dv/dt = d(V+ u)/dt = dV/dt = A, (2b)

т.е. ускорение точки в системах k и K, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково. Следовательно, если на точку другие тела не действуют (а = 0), то, согласно (2b), и A = 0, т.е. система K является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Уравнение (2b) выражает механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, а уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т.е. являются инвариантами по отношению к преобразованиям координат Галилея. Из этого принципа, в частности, следует, что никакими механическим опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно.

Преобразования Галилея не изменяют расстояния l₁₂ = [(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]^1/2 между двумя точками (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂) трехмерного пространства и промежутки времени t₁₂ = t₂ - t₁ между двумя событиями. Иными словами, величины l₁₂ и t₁₂ являются инвариантами относительно преобразований Галилея. Кроме того, пространственные и временные преобразования являются независимыми (время является единым для всех инерциальных системы отсчета).

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальных систем с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона несправедливы. Однако законы динамики можно использовать и для неинерциальных систем, если, кроме сил F, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы инерции F_ин. Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции F_ин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F они сообщили телу ускорение а`, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т.е. ma`= F + F_ин и поскольку F = ma (здесь a -ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то ma`= ma + F_ин.

Cилы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы и поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил:

1.Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета F_п=ma_o, здесь а_о - ускорение поступательного движения системы отсчета.

2.Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета F_ц =-m²R, здесь =const - угловая скорость системы в виде вращающегося диска радиуса R.

3.Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета F_к = 2m[v`], где сила F<sub>к</sub> (сила Кориолиса) перпендикулярна векторам скорости тела v` и угловой скорости вращения  системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

В соответствии с этим, получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета

ma`= F + F_п + F_ц + F_к.

Существенно, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета . Поэтому эти силы не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к данному телу.