6. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Линеаризация функции

Пусть функция дифференцируема в точке . И пусть значение функции и ее частных производных вычислить в точке проще, чем в точке . Найдем полное приращение этой функции от точки к точке :

. (1)

Выразим из формулы (1) значение функции в точке :

, (2)

где ; и т.д.

Воспользуемся выражением полного приращения функции в виде:

.

Видно, что при достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно со сколь угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом:

,

исключая точки, в которых частные производные .

Отсюда, возвращаясь к выражению (2), находим, что приближенное значение функции в произвольной точке , отстоящей достаточно близко от точки , можно вычислить по формуле:

Последнее равенство позволяет также линеаризовать функцию, т.е. заменить исходную функцию в окрестности точки линейной функцией.

Примеры.

1. Вычислить приближенно значение:

а) .

Предположим, что - это частное значение функции в точке и что вспомогательная точка - , тогда:

;

,

Пользуясь формулой приближенных вычислений функции, получаем

.

б)

Пусть данное выражение есть частное значение функции в точке . В качестве вспомогательной точки возьмем . Тогда

, ; ,

Таким образом, .

в)

Пусть данное выражение есть частное значение функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Из этого выражения определим

, ;

Найдем значение функции .

Находим частные производные и их значения во вспомогательной точке:

Полный дифференциал функции u равен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

2. Линеаризовать функцию в окрестности точки .

Найдем значения функции и ее частных производных в указанной точке:

;

.

Пользуясь формулой линеаризации функции, получаем

.

7. Дифференцирование сложных функций

1. Переменная называется сложной функцией нескольких переменных , если она задана через посредство промежуточных аргументов :

,

где , ,…, .

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:

(1)

………………

Если, в частности, все промежуточные аргументы будут функциями одной независимой переменной , то и будет сложной функцией только от . Производная такой сложной функции (от одной независимой переменной) называется полной производной и определяется формулой:

(2)

Формула (2) получается из формулы для полного дифференциала функции путем деления на .

Примеры.

1. Найти производные сложных функций:

а) ; ; .

Здесь - сложная функция одной независимой переменной . Пользуясь формулой (2), получим:

б) ; ; .

Здесь - сложная функция двух независимых переменных и . Пользуясь общими формулами (1), найдем:

в) ; ; .

Здесь - сложная функция одной независимой переменной . Пользуясь формулой (2) для полной производной, получим:

.

2. Найти и , если ; ; .

;

.