Скалярное поле

Содержание: Линии и поверхности уровня. Производная функции по заданному направлению. Градиент функции.

1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня

Физическим полем называется часть пространства, в которой происходит физическое явление. Физическое поле называется скалярным, если физическое явление, его образующее, характеризуется функцией , зависящей только от координат точек пространства, в котором это явление происходит. Скалярное поле полностью определено заданием одной функции трех независимых переменных¹.

Если физическое явление образовало скалярное поле, то каждой точке пространства, в котором происходит это явление, ставится в соответствие определенное число, характеризующее это явление в рассматриваемой точке. Это число есть частное значение функции , вычисленное в точке (примерами скалярного поля являются: поле элект­рического потенциала, давление в атмосфере, поле температур неравномерно нагретого тела и т.д.).

При рассмотрении данной темы будем считать, что скалярное поле стационарно.

1. Скалярное поле – это область пространства, в которой задана скалярная функция , называемая функцией поля.

2. Множество точек поля, в которых функция поля принимает одно и то же значение С, образует поверхность, называемую изоповерхностью или поверхностью уровня (иначе эквипотенциальной поверхностью) этого поля.

Поверхности уровня имеют уравнение

,

где С — постоянная величина.

Придавая постоянной С различные числовые значения, получим семейство поверхностей уровня. Через каждую точку простран­ства проходит одна поверхность уровня.

Во всех точках поверхности уровня физическое явление проте­кает одинаково.

Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку , имеет вид:

.

3. Если скалярное поле – плоское, например, находится в плоскости хОу, то его функция поля зависит от двух переменных, а множество точек, в которых , образуют линию уровня или изолинию.

Линии уровня используются при составлении географических карт (для изображения точек, находящихся на одинаковой высоте над уровнем моря), при составлении метеорологических карт (для изображения линий одинаковых температур – изотерм, и линий одинакового давления – изобар).

Примеры.

Построить линии уровня функций, соответствующие значениям .

а) .

Полагая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

, , , и .

Построив эти линии в декартовой системе координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого координатных углов (рис.1)

б) .

Напишем уравнения линий уровня:

, , , и .

Построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (рис.2)

в) .

Линии уровня этой функции , , , и представляют собой параболы, симметричные относительно Оу с общей вершиной в начале координат (рис. 3).

2. Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в данном направлении.

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора вводят понятие производной поля по направлению.

Рассмотрим функцию в точке и точке .

Проведем через точки и вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками и на векторе обозначим

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

Далее предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины ₁, ₂, ₃ – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

Из этого уравнения следует следующее определение:

1. Пусть задана точка и вектор , выходящий из точки (рис.). Производной функции по направлению вектора называют предел отношения разности к величине направленного отрезка , когда точка стремится к точке , оставаясь на прямой :

.

Производная от функции по направлению обозначается:

или .

Эта производная вычисляется по формуле (при условии, что функция дифференцируема в точке М):

, (1)

где - нормальный вектор к поверхности уровня функции ,

или - единичный вектор (т.е. его длина равна единице), характеризующий направление вектора .

- направляющие косинусы вектора .

Заметим, что

1) величина является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

2) В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет бесконечное множество производных по различным направлениям.