- •Функции нескольких переменных (фнп)
- •1. Фнп, их определение, обозначение и область определения
- •2. Предел фнп. Непрерывность
- •3. Свойства функций, непрерывных в области
- •4. Частные производные функций нескольких переменных
- •5. Дифференциалы фнп. Геометрический смысл полного дифференциала
- •6. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Линеаризация функции
- •7. Дифференцирование сложных функций
- •8. Дифференцирование неявных функций
- •9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Геометрические приложения
- •10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Особые точки
- •11. Экстремумы функции нескольких переменных
- •11.1 Локальный экстремум
- •Скалярное поле
- •1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня
- •2. Производная по направлению
- •Свойства производной по направлению
- •3. Градиент функции
- •Свойства градиента
8. Дифференцирование неявных функций
1. Переменная называется неявной функцией нескольких переменных , если она задана уравнением
которое не разрешено относительно .
При этом если функция и ее частные производные , , …, , , определены и непрерывны в некоторой точке и вблизи нее, и если , а , то уравнение вблизи точки и в самой этой точке определяет функцию как однозначную, непрерывную и дифференцируемую функцию от .
Для вычисления частных производных , , …, нет необходимости выражать в явном виде.
Производные неявной функции , заданной уравнением , при соблюдении указанных выше условий, определяют по формулам:
; … (1)
В частности, если - неявная функция одной независимой переменной , уравнением , то ее производная:
(2)
Примеры.
1. Найти производные неявных функций и вычислить их значение при :
а) .
Преобразуем данное выражение к виду:
и, согласно (2), получим:
Вычислим, используя исходное выражение функции, значение при :
, логарифмируя это выражение по основанию , получим:
, , откуда . Подставляя значения и в найденное выражение производной, находим:
.
б) .
Обозначив левую часть выражения через , вычислив частные производные и и воспользовавшись формулой (2), находим:
.
Вычислим, используя исходное выражение функции, значение при :
,
решая квадратное уравнение, получим и .
и .
2. Найти производные неявных функций:
а) .
Обозначив левую часть выражения через , вычислив частные производные , и и воспользовавшись формулой (1), находим:
;
9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Если функция определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Частные производные первого порядка обычно зависят от тех же аргументов, что и сама функция, и каждую из них можно дифференцировать по каждому аргументу.
1. Частные производные от частных производных первого порядка называют частными производными второго порядка и обозначают:
.
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные третьего порядка:
;
;
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого, пятого и более высоких порядков.
2. Частные производные старших порядков вида и т.д. называются смешанными производными.
Теорема. Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то смешанные производные, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны, т.е. верно соотношение:
.
Согласно этой теореме, функция двух переменных имеет 3 различных частных производных второго порядка; 4 различных частных производных третьего порядка и, вообще, различных частных производных -го порядка.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
…………………
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.
Дифференциал 2-го порядка позволяет вывести приближенную формулу, выражающую функцию через дифференциал:
.
Дифференциалы 1-го и 2-го порядка применяют для исследования функции нескольких переменных на экстремум.
Примеры.
1. Найти частные производные второго порядка:
а) .
Вначале находим частные производные первого порядка, затем искомые частные производные второго порядка.
б) .
Последовательно дифференцируя, находим:
.
2. Проверить, что для функции:
.
Дифференцируя по , найдем .
Дифференцируя по , найдем . (А)
Дифференцируем в другом порядке, по :
и по : (Б)
Сопоставляя (А) и (Б), заключаем, что для данной функции .
3. Проверить, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению .
Найдем частные производные, содержащиеся в данном уравнении:
;
Подставляя их в данное уравнение, получим тождество .