- •Функции нескольких переменных (фнп)
- •1. Фнп, их определение, обозначение и область определения
- •2. Предел фнп. Непрерывность
- •3. Свойства функций, непрерывных в области
- •4. Частные производные функций нескольких переменных
- •5. Дифференциалы фнп. Геометрический смысл полного дифференциала
- •6. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Линеаризация функции
- •7. Дифференцирование сложных функций
- •8. Дифференцирование неявных функций
- •9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Геометрические приложения
- •10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Особые точки
- •11. Экстремумы функции нескольких переменных
- •11.1 Локальный экстремум
- •Скалярное поле
- •1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня
- •2. Производная по направлению
- •Свойства производной по направлению
- •3. Градиент функции
- •Свойства градиента
Геометрические приложения
10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Особые точки
1. Пусть M и M0 – точки данной поверхности. Проведем прямую MM0. Плоскость, которая проходит через точку M0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей MM0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние MM0.
Поверхность в своей произвольной точке имеет либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Касательная плоскость к поверхности в точке M0 содержит касательные прямые ко всем кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Пусть поверхность задана уравнением . Рассмотрим на ней точку . Будем предполагать, что , и одновременно не равны нулю. На поверхности через точку проведем всевозможные линии L и касательные прямые к этим линиям. Справедлива следующая теорема:
Теорема. Касательные прямые, проведенные к всевозможным линиям поверхности в точке , лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью. Нормальный вектор касательной плоскости .
Доказательство.
2. Нормалью к поверхности в точке M0 называется прямая, проходящая через точку касания M0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
Нормальный вектор касательной плоскости одновременно является и направляющим вектором нормали.
Если поверхность задана уравнением , где – функция, дифференцируемая в точке , касательная плоскость в точке существует и имеет уравнение:
. (1)
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
(2)
Если поверхность задана уравнением и точка лежит на ней, то касательная плоскость к поверхности в точке определяется уравнением:
. (3)
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
. (4)
Равенство нулю в точке касания одной из частных производных, означает, что касательная параллельна той оси, по какой переменной частная обращается в нуль. Например, означает, что касательная плоскость параллельна оси Ох, а нормаль лежит в плоскости .
3. Точки поверхности , в которых одновременно обращаются в нуль все частные производные первого порядка , , , называют особыми. В таких точках поверхность не имеет ни касательной плоскости, ни нормали.
Особые точки плоской кривой (функция одной переменной). Обозначим значения частных производных в особой точке через: , и . Возможны три случая:
1) - через особую точку проходит 2 касательных, точка называется узлом.
2) - в особой точке нет касательных, точка называется изолированной.
3) - или изолированная точка, или точка возврата, или точка самосоприкосновения. В точках возврата и самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям кривой. Чтобы в третьем, сомнительном случае решить вопрос однозначно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки
Примеры.
1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали:
а) к поверхности в точке М(1, 1, 1).
Находим частные производные и их значения в указанной точке касания:
На основе формул (1) и (2) составим уравнения касательной и нормали.
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали:
б) к эллиптическому параболоиду в точке .
Преобразуем уравнение поверхности к виду: .
И, обозначив его левую часть через , найдем частные производные:
, , .
Вычислим их числовые значения в указанной точке :
, , .
Подставляя найденные значения в общие уравнения (3) и (4), получим
- уравнение касательной плоскости:
.
- уравнение нормали к поверхности в этой точке:
.
2. На сфере найти точки, где касательная параллельна плоскости .
1) Пользуясь общим уравнением (3), составим уравнение касательной плоскости к данной сфере в ее точке (координаты которой нам нужно найти):
, , - частные производные уравнения сферы.
, , - их значения в точке касания. Отсюда:
Сократив выражение на 2, и раскрыв скобки, получим:
или .
2) Точка сферы должна удовлетворять ее уравнению . Это означает, что . Следовательно,
.
3) Воспользуемся условием параллельности искомой касательной к заданной плоскости. Согласно условию параллельности двух плоскостей, коэффициенты при текущих координатах этих плоскостей должны быть пропорциональны:
.
Запишем последние равенства в виде системы уравнений:
(*)
4) Подставим найденные в параметрическом виде (*) координаты точек сферы в ее уравнение:
,
откуда находим, что .
5) Подставляя найденные числовые значения в (*), найдем координаты искомых точек, в которых касательная плоскость параллельна заданной плоскости:
и .
3. Показать, что касательные плоскости к поверхности образуют с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.
Уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке имеет вид:
.
Эта плоскость на координатных осях отсекает отрезки:
, , .
Перечисленные отрезки являются взаимно перпендикулярными ребрами тетраэдра, образованного касательной плоскостью и координатными плоскостями. Приняв одно из этих ребер за высоту тетраэдра, найдем, что его объем
, так как точка лежит на данной поверхности. Причем объем не зависит от координат точки касания. Из этого следует, что различные касательные плоскости к данной поверхности образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного, равного, объема.