9. Ответы к задачам для самостоятельного решения

1.

2.

3. * – проектирование на биссектрису 2-й и 4-й четверти параллельно оси Оу.

4. Указание: Показать, что если z  L₁^, и L₂^, то *(z) = 0, *(u) = u.

5. 3x₁  3x₂ + x₃ = 0.

6.

9. Указание: доказать равенство:

((х)  х, (х)  х) = ( *(х)  х, *(х)  х).

14. Указание: Показать, что ортогональное дополнение к одномерному подпространству, инвариантному относительно сопряженного преобразования *, инвариантно относительно .

16.

17.

21. Указание: Доказать равенство:

29. Задачи для самостоятельного решения

47. Доказать, что линейная комбинация самосопряженных преобразований с вещественными коэффициентами (в частности, сумма двух самосопряженных преобразований) есть самосопряженное преобразование.

48. Доказать, что произведение  двух самосопряженных преобразований  и  тогда и только тогда будет самосопряженным, когда  и  перестановочны.

49. Доказать, что проектирование  евклидова пространства Rⁿ на подпространство L₁ параллельно подпространству L₂ тогда и только тогда будет самосопряженным линейным преобразованием, когда L₁ и L₂ ортогональны.

50. Найти ортонормированный базис собственных векторов и матрицу В в этом базисе для линейного преобразования , заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А:

а) б) в)

51. Доказать, что если  и  самосопряженные преобразования, то преобразование  +  также самосопряжено.

72. Доказать, что линейное преобразование  унитарного пространства тогда и только тогда является нормальным, когда  = , где   самосопряженное и   унитарное преобразования, перестановочные между собой.

73. Доказать, что:

а) каждое линейное преобразование  унитарного пространства однозначно представляется в виде  = ₁ + i₂, где ₁ и ₂ – эрмитовы преобразования;

б) для того чтобы преобразование  было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы преобразования ₁ и ₂ в вышеуказанном представлении были перестановочны.

74. Доказать, что если  и   эрмитовы преобразования, то эрмитовыми будут также преобразования  +  и i(  ).

75. Найти ортонормированный базис из собственных векторов эрмитова преобразования, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

а) б) в)

76. В некотором ортонормированном базисе эрмитово преобразование задано матрицей А. Найти базис из собственных векторов преобразования, диагональную матрицу В преобразования в в этом базисе и унитарную матрицу С такие, что В = С^1АС:

а) б)

Ответы к задачам для самостоятельного решения

50. а)

b)

c)

76. а)

б)

30. Задачи для самостоятельного решения.

1. Являются ли билинейными формами следующие функции от двух систем переменных:

1. f(x, y) = ,

где Х,Y – столбцы вещественных чисел высотой n;

2. f(x, y) = tr(XY-YX),

где Х,YM_n(R), trA – след матрицы А;

3. f(x, y) = det(XY), X,Y M_n(R);

4. f(x, y) = tr(A + B);

5. f(x, y) = tr(A );

6. f(x, y) = tr( );

7. f(x, y) = ,

где – непрерывные функции на отрезке [a, b];

8. f(x, y) = ,

где – непрерывные функции на отрезке [a, b];

9. f(x, y) = (x, y),

где (x, y) – скалярное произведение векторов х, у  Rⁿ .

2. Найти матрицу билинейной формы f(x, y) в новом базисе если заданы ее матрица А в старом базисе и формулы перехода к новому базису:

3. Привести к нормальному виду следующие симметрические билинейные формы, найти матрицы перехода:

1. f(x, y) = x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y₁ + 2x₂y₂ + 2x₂y₃ + 2x₃y₂ + 5x₃y₃;

2. f(x, y) = x₁y₁ + 0,5x₁y₂ + 0,5x₂y₁ + 0,5x₃y₄ + 0,5x₄y₃;

3. f(x, y) = x₁y₁  2x₁y₂ + x₁y₃ 2x₂y₁ + 4x₂y₂ + x₃y₁  x₃y₃.

4. Привести к каноническому виду следующие симметрические билинейные формы, найти ортогональные матрицы перехода:

1. f(x, y) = (2x₁y₁ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁  x₂y₂ + 2x₂y₃  2x₃y₁ + 2x₃y₂ + +2x₃y₃);

2. f(x, y) = 17x₁y₁  8x₁y₂ + 4x₁y₃  8x₂y₁ + 17x₂y₂  4x₂y₃ + 4x₃y₁ 

 4x₃y₂ + 11x₃y₃;

3. f(x, y) = 11x₁y₁ + 2x₁y₂  8x₁y₃ + 2x₂y₁ + 2x₂y₂ + 10x₂y₃ 

 8x₃y₁ + 10x₃y₂ + 5x₃y₃;

4. f(x, y) = 2x₁y₁  2x₁y₂ + x₂y₂  2x₂y₃  2x₃y₂.

5. Записать квадратичные формы в матричном виде:

6. Записать квадратичные формы по их матрицам:

7. При каких значениях  следующие квадратичные формы являются положительно определенными:

8. Методом Лагранжа привести квадратичную форму к нормальному виду (к сумме квадратов) и найти соответствующее невырожденное преобразование переменных.

9. Привести к каноническому виду квадратичные формы и найти соответствующие ортогональные преобразования переменных.

10. Для следующих форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее форму f(x) в форму g(y) (искомое преобразование определяется неоднозначно).

11. Найти невырожденное линейное преобразование, приводящее одну из форм (положительно определенную) следующих пар квадратичных форм к нормальному, а другую форму той же пары к каноническому виду.

12. Симметрическую эрмитову билинейную форму привести к каноническому виду:

13. Привести к каноническому виду эрмитову квадратичную форму: