Задание № 22-1.

1.Пусть векторы е₁ = (1, 1, 1), е₂ = (1, 1, 2), е₃ = (1, 2, 3), х = (6, 9, 14) заданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что е₁, е₂, е₃  также базис пространства и найти координаты вектора х в этом базисе.

2.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если поменять местами два вектора первого базиса ?

3.Является ли подпространством соответствующего векторного пространства совокупность векторов пространства Rⁿ, координаты которых целые числа ?

4.Образуют ли подпространство в пространстве матриц М_n(F) симметрические матрицы порядка n над полем F ? Найти базис и размерность.

5.Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек систем векторов пространства R⁴: S = <(1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0)>;

T = <(1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1)>.

6.Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек:

а) A = <(1, 1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1)>;

B = <(1, 0, 1, 0, 1), (0, 2, 1, 1, 0), (1, 2, 1, 2, 1)>;

б) A = <(1, 1, 1)>; B = <(0, 1, 1), (0, 0, 1)>.

7.Найти систему линейных уравнений, задающих линейную оболочку системы векторов: А = <(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)>.

Ответы.

1. (1, 2, 3). 5. 3,1.

2. Поменяются местами 6a. (a₁, a₂, a₃, b₁), (1, 1, 1, 1, 0),

2 строки. (1, 0, 0, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 1).

3. Нет. 6б. U + V= R³.

4. Бaзис: {E_ij + E_ji  1 i  j  n}, 7. x₁  x₃  x₄ = 0; или x₂ + x₃  x₄ = 0;

разм. n(n+1)/2 x₁ + x₂  2x₄ = 0 x₁  x₃  x₄ = 0.

Задание № 23 2.

1.Выяснить, какие из следующих преобразований  (х) являются линейными. В случае линейности найти матрицу данного преобразования:

a)  (х) = (x₁, x₂ + 1, x₃ + 2);

б)  (х) = (x₁ + x₂ + x₃, x₁ + x₂, x₃);

в)  (х) = (x₁ + x₂, x₂ + x₃, x₃ + x₁).

2.Найти все векторы пространства Rⁿ, переходящие в вектор b пространства R^m при линейном отображении  _A: Rⁿ  R^m, заданном матрицей А: a) A =  b =  b) A =  b = 

Ответы.

2а.

1в. 2б.

Задание 243.

1. Является ли линейным отображение х  х (   фиксированный скаляр) ?

2. Показать, что умножение квадратных матриц 2го порядка а) слева, б) справа на данную матрицу   является линейным преобразованием пространства всех матриц второго порядка и найти матрицы этих преобразований в базисе матриц:

3. Какие из следующих преобразований пространства R³ являются линейными? В случае линейности найти матрицу, ранг и дефект преобразования. а) (х₁, х₂, х₃) = (х₁, х₁, 0), б) (х₁, х₂, х₃) = (kх₁, kх₂, kх₃), k  R.

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

5. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного преобразования   инвариантна относительно  .