Ответы .

1а. Нет. 1б. Да. 1в. Нет. 2а. Нет. 2б. Ком. 2в. Ком. 2г. Ком., ас. 3а. Да. 3б. Да. 3в. Да. . 3г. Да. 3д. Нет. 3е. Да при d = 1. 3ж. Нет. 3з. Нет. 3и. Да.

3к. Да.

Задание № 16-2.

1.Найти порядок элемента группы:

а)  ; б)

2.Докажите, что группа корней 4-ой степени из 1 изоморфна аддитивной группе вычетов по модулю 4.

3.Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения:

а) множество nZ, nN , n > 1;

б) множество комплексных чисел вида x + yi, x, yQ ?

4.Какие из следующих множеств матриц образуют кольца:

а)  б)  ;

в)  .

г) множество вещественных ортогональных матриц порядка n;

(А  ортогональна, если АА'=A'A=E, A' транспонированная матрица).

д) множество комплексных матриц вида

5.Доказать, что следующие множества являются полями:

а) R ; б)  .

6.Показать гомоморфизм колец

 при отображении

Ответы.

1а. 5; 1б. 2; 2. Док-во. 3а. Да. 3б. Да. 4а. Нет. 4б. Да. 4в. Да. 4г. Нет. 4д. Да.

Задание № 17-1.

1.Найти обратную к квадратной матрице  , где А, С - невырожденные матрицы.  

  2.Доказать, что всякая матрица может быть единственным образом представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц.

3.Найти все симметрические ортогональные и кососимметрические ортогональные матрицы порядка 2.

4.Решить уравнение АХ + Х + А = 0, где А - нильпотентная матрица.

5.Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свойствами: а) ; б) ; в) ;

г) , где с  число, А, В  матрицы.

6.Показать, что произведение двух симметрических матриц тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные матрицы перестановочные.

7.При каких условиях диагональная матрица является унитарной ?

8.Найти Аⁿ для всех целых положительных чисел n:

а) А = ; б) А =

Ответы.

1.   8a.  

2. Доказательство. 8б. 

2. 5. Доказательство. 6. Доказательство. 7. Мод.диаг. эл.=1.  

Задание № 18-5.

1.Выяснить, являются ли подобными между собой матрицы:

А = В =

2.Найти минимальный многочлен нильпотентной матрицы с показателем нильпотентности k.

3.Привести к нормальной диагональной форме путём элементарных преобразований следующие матрицы:

а)   б)

4.Привести к нормальной диагональной форме при помощи элементарных преобразований следующие матрицы:

а)   б) 

Ответы.

   

1. Да. 4а.  

2. t^k.  

3а.   4б.

3б.  

Задание № 19-4 .

1.Выяснить, являются ли подобными между собой матрицы:

А = В =

2.Найти минимальный многочлен матрицы

3.Привести к нормальной диагональной форме путём элементарных преобразований следующие матрицы:

 

а)   б)  

4.Привести к нормальной диагональной форме при помощи элементарных преобразований матрицу

где a,b,c,d  попарно взаимно простые многочлены.

Ответы.

 

  1. Да. 4а.   где р = ,

2. t²  5t + 6.   их старш. коэф.

3а.  

3б.  

ЗАДАНИЕ № 20-3.

Найти жорданову форму матриц:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Ответы.

1) ; 2) ;3) ;4) ; 5) ; 6) .

Задание № 212.

1.При каких значениях  из линейной независимости системы век

торов {а₁, а₂}  вытекает линейная независимость системы

 {a₁ + a₂,} ?

2.Проверить, выполняются ли аксиомы векторного пространства

для множества всех векторов плоскости с операциями сложения и умножения на целые числа.

3.Является ли множество всех арифметических nмерных векторов

(x₁, x₂,..., x_n) в F⁵ векторным пространством над полем F, если:

а) x₁ = x_n = 0, б) x₁  x₂ ...x_n = 0 ?

4.Является ли векторным пространством над полем рациональных чисел множество чисел вида a + b , a, b  рациональные числа.

 5.Покажите, что множество матриц вида  с элементами из R

является векторным пространством над полем R относительно обычных операций с матрицами.

6.При каких , ,  система векторов (1, , ), (0, 1, ), (0, 0, 1) образует базис арифметического векторного пространства над полем R ?

Ответы 1 Док-во.

2 Нет.

3а Да.

3б Да.

4 Да.

5 Док-во.

6 При любых.