- •7. Вычислить выражения:
- •Вычислить:
- •Задание № 4-3.
- •Задание 5-4.
- •3. Вычислить определители:
- •Задание 6-3.
- •Задание № 73.
- •Задание № 8-5.
- •Задание 9-2.
- •2.Вычислить выражения:
- •Задание 101.
- •Ответы.
- •Задание № 13 1.
- •Ответы.
- •Задание № 143.
- •Ответы.
- •Задание № 15 4.
- •Ответы .
- •Задание № 16-2.
- •Ответы.
- •Задание № 17-1.
- •Задание № 18-5.
- •Ответы.
- •Задание № 19-4 .
- •Задание № 22-1.
- •Ответы.
- •Задание № 23 2.
- •Ответы.
- •Задание 243.
- •Ответы.
- •5. Доказательство.
- •25. Задания для самостоятельной работы.
- •Ответы.
- •26. Задачи и упражнения для самостоятельной работы
- •Ответы.
- •Задание № 274.
- •9.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис оболочек векторов:
- •28. Задачи для самостоятельного решения
- •5. Написать уравнение плоскости, инвариантной относительно линейного преобразования , заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей
- •9. Ответы к задачам для самостоятельного решения
- •29. Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам для самостоятельного решения
- •30. Задачи для самостоятельного решения.
- •Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Ответы.
1. При = 2.
2. а) 1,2 = 1: с1(2, 1, 0) + с2(1, 0, 1);
3 = 1: с(3, 5, 6), сi0 одновременно.
b) 1 = 1: c(1, 2, 1); 2 = 2 + 3i: c(3 3i, 5 3i, 4);
3 = 2 3i: c(3 + 3i, 5 + 3i, 4), c 0.
c) = 2, c1(1, 1, 0, 1) + c2(0, 0, 1, 1).
3. Указание: рассмотреть
5.a) 1,2 = 0: с1(1, 0, 4) + с2(0, 1, 0); 3 = 1, с3(0, 0, 1); fmin = t2 t.
b) 1,2,3 = 0: c1(0, 0, 1, 0) + c2(0, 1, 0, 4); 4 = 1: c3(0, 0, 0, 1);
fmin = t3 t2.
c) 1,2 = 0: c1(0, 1, 2), 3 = 1: c2(0, 0, 1); fmin = t3 t2.
6. 1,2,3 = 2, c(1, 0, 0), fmin = (t 2)3.
7. 1 = 0: c1(0, 1, 1, 0);
2,3,4 = 2: c2(1, 0, 0, 0) + c3(0, 1, 1, 0) + c4(0, 0, 0, 1), fmin = t2 2t.
8. a) 1,2,3,4 = 2, c1(1, 0, 0, 0) + c2(0, 1, 1/2, 0), fmin = (t 2)3.
b) 1,2,3,4 = 2, c1(1, 1, 0, 0) + c2(2, 0, 1, 1), fmin = (t 2)3.
c) 1,2,3,4 = 1, c1(1, 1, 0, 0) + c2(1, 0, 1, 1), fmin = (t 1)3.
9. 1 = 3, 2 = 1, a) c(1, 0, 1), b) c(0, 1, 1), c) c1(1, 1, 0) + c2(1, 0, 1).
10. = 0, c1(1, 2, 0) + c2(0, 0, 1).
11. = 5, = 3, = 2, c1(1, 2, 1), c2(3, 1, 0), c3(1/2, 1, 1).
14. < (1, 2, 1) >; < (1, 1, 1), (1, 2, 3) >, нулевое и все прво.
26. Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Задача 1.
Можно ли в линейном пространстве М3(R) матриц с вещественными элементами ввести скалярное умножение матриц по формуле (А, В) = a11b11 + a22b22 + a33b33 ?
Задача 2.
В базисе е1, е2 линейного пространства R2 произвольные векторы х и у имеют разложение х = х1е1 + х2е2, у = у1е1 + у2е2.
А) Можно ли в этом пространстве ввести скалярное умножение векторов по формуле:
(х, у) = х1у1 2х2у2;
(х, у) = 2х1у1 + 3х2у2;
(х, у) = х1у1 х1у2 х2у2 + 3х2у2 ?
Б) Вычислите скалярное произведение элементов х = е1 + е2 и у = е1, их нормы (норма вводится по формуле ) и угол между ними, если скалярное умножение введено по формуле 2), по формуле 3) пункта А).
Задача 3.
Скалярное умножение векторов в пространстве Р1 многочленов степени, не превосходящей 1, введено по формуле 2) (по формуле 3)) из задачи 2 в базисе е1 = 1, е2 = 1 + х. Вычислить скалярное произведение многочленов f(x) = 1 + x и g(x) = 3x, их нормы и угол между ними.
Задача 4.
В линейном пространстве Р5 многочленов степени, не превосходящей 5, вычислить скалярное произведение многочленов f(x) = 2 3x + 4x3 x4 и g(x) = 1 x + x2 + x3 2x5, в базисе е1 = 1, е2 = х,…, е6 = х5, если скалярное произведение определено по формуле где координаты векторов х, у в заданном базисе.
Задача 5.
Пусть у фиксированный ненулевой элемент евклидова пространства, фиксированное число. Является ли множество всех элементов х, для которых (х, у) = , подпространством данного евклидова пространства?
Задача 6.
Выясните, является ли линейное пространства М2(R) всех квадратных матриц второго порядка евклидовым, если скалярное произведение векторов введено следующим образом: a) (A, B) = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2; b) (A, B) = a1a2 + b1c2 + + c1b2 + d1d2, где
Задача 7.
Проверьте, что в R3 векторы а1 = (1, 2, 2), а2 = (2, 2, 1), а3 = (2, 1, 2) образуют ортогональный базис, и для вектора х = (1, 2, 3) найдите разложение по этому базису.
Задача 8.
Пусть Х = (х1, х2) и У = (у1, у2) Произвольные векторы линейного пространства Х2, заданные координатами в фиксированном базисе е1, е2. Убедитесь в том, что скалярное произведение векторов в этом пространстве можно задать одним из следующих способов:
Вычислить скалярное произведение векторов Х = (1, 1) и У = (2, 1).
Задача 9.
Пусть в линейном пространстве Х2 с базисом е1, е2 скалярное произведение задано формулой:
Убедитесь в том, что и выпишите матрицу Грама базиса
Задача 10.
Дано линейное пространство Х3 с базисом и матрица Грама этого базиса:
Выписать формулу скалярного умножения векторов в пространстве Х3 и, пользуясь ей, вычислить скалярное произведение (Х, У), если
Задача 11.
Найти собственные значения и корневые подпространства линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей: