Ответы.
1.
Да. 2. а)
б)
3а.
r
= 1, def = 2. 3б.
r = 3, def = 0.
4. 1 = 1, 2 = 3 = 2, соб. вект.: c1(1, 1, 1), (1 = 1,) , c2(1, 2, 3), c 0.
5. Доказательство.
25. Задания для самостоятельной работы.
1. При каком значении линейное преобразование трехмерного пространства, заданное преобразованием координат
x1 = 2x + y + z, y1 = x 2y + z, z1 = x + y + z,
не имеет обратного?
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных в некотором базисе матрицами:
3. Доказать, что если линейное преобразование 2 имеет собственное значение 2, то одно из чисел и является собственным значением преобразования .
4. Доказать, что если А и В – квадратные матрицы одинакового порядка, то матрицы АВ и ВА имеют совпадающие характеристические многочлены.
5. В пространстве многочленов степени не выше k задано линейное преобразование . Найти минимальный многочлен этого преобразования, его собственные значения, собственные векторы, ядро и все инвариантные подпространства:
а)
k
= 2,
b) k = 3,
c)
k
= 2,
6. В пространстве симметрических матриц второго порядка линейное преобразование задано следующим образом:
где
,
Х – любая симметрическая матрица второго порядка. Найти минимальный многочлен этого преобразования, его собственные значения, собственные векторы, ядро и все инвариантные подпространства.
7.
В пространстве квадратных матриц второго
порядка с элементами из поля вещественных
чисел линейное преобразование задано
следующим:
,
где Х
Мn(R).
Найти минимальный многочлен этого
преобразования, его собственные значения,
собственные векторы, ядро и все
инвариантные подпространства.
8. В пространстве квадратных матриц второго порядка с элементами из поля вещественных чисел задано линейное преобразование . Найти минимальный многочлен этого преобразования, его собственные значения, собственные векторы, ядро и все инвариантные подпространства:
а) 
9. При каких значениях число 0 является собственным значением преобразования , заданного матрицей А? При найденном определить совокупность собственных векторов преобразования.
10. При каких значениях число 2 является собственным значением преобразования , заданного матрицей А? При найденном определить совокупность собственных векторов преобразования.
11. При каких значениях , , числа 1, 2, 3 будут являться собственными значениями преобразования , заданного матрицей А? При найденных , , определить совокупность собственных векторов преобразования.
12. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на любую систему собственных векторов преобразования , инвариантно относительно .
13. Доказать, что любое подпространство, инвариантное относительно линейного преобразования , будет инвариантно и относительно обратного преобразования 1.
14. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные одновременно относительно двух линейных преобразований, заданных матрицами:
и
