§ 2.7. Дифракционная решетка.
Рассмотрим экран, в котором проделано N отверстий. Пусть источник излучения S находится на большом расстоянии от решетки. Определим волновую функцию в т. Р. Каждое отверстие мы рассматриваем, как источник излучений.
Положение главных
максимумов определяется условием
;
и зависит от длины волны излучения, за
исключением центральной. Это свойство
дифракционной решетки позволяет
определить спектральный состав излучений,
т. е если источник испускает волны с
различной длиной, то с помощью дифракционной
решетки можно найти длины этих волн, т.
к условие главного максимума, кроме
центрального
и волны различной длины будут наблюдаться
под разными углами
.
Максимумы первого порядка будут определять спектр 1ого порядка излучения. Когда n = 2, получаем 2ой порядок.
Рылей предложил критерий различимости двух линий в спектре излучения.
Линии излучения
будем считать различимыми, если главный
максимум одной линии
совпадает с ближайшим минимумом другой
- минимальный
интервал длин волн, который можно
разрешить с помощью дифракционной
решетки.
§ 2.8. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля.
Если источник находится на большом расстоянии от экрана с отверстием, а точка наблюдения Р также находится на большом расстоянии от экрана, то наблюдается дифракция, называемая дифракция Фраурофер. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то наблюдаемая дифракция называется дифракцией Френеля.
Дополним принцип
Гюйгенса следующим условием. Для того,
чтобы найти волновую функцию в точке
Р, надо разбить поверхность волнового
фронта на бесконечно маленькие плоские
участки. Тогда волновая функция в точке
Р будет равна сумме волновых функций,
излучаемой каждым таким участком.
Амплитуда волн в точке Р излучаемая
каждым участком поверхности будет
,
где А – амплитуда колебаний на поверхности
волнового фронта.
- некоторая функция,
зависящая от угла между нормалью к
участку dS
и радиус-вектором
,
про которую известно только то, что она
уменьшается с увеличением угла. В
качестве примера применение принципа
Гюйгенса рассмотрим цилиндрически
симметричную задачу, когда источник –
центр отверстия в экране и точка Р.
Предположим для простоты, что источник находится на большом расстоянии, тогда волновой фронт на поверхности можно считать плоским. По принципу Френеля волновая функция
В качестве б. м участка поверхности dS выберем тонкое кольцо радиусом р dS.
Таким образом
амплитуда колебаний в точке р будет
пропорциональна
Для вычисления
этого интеграла предположим сначала,
что функция
постоянна.
Если предположить,
что
постоянна, то такой интеграл не сходится.
Влияние функции
,
что каждое следующее слагаемое будет
меньше предыдущего. В результате
окружность деформируется в спираль
Френеля. Амплитуда колебаний будет
определяться радиусом окружности.
Френель предложил разбить поверхность
волнового фронта на зоны. Таким образом,
что расстояние до границ зоны от точки
р отличается на
.
Легко заметить, что в первой зоне Френеля соответствует первая полуокружность спирали. Если отверстие в экране совпадает с размером первой зоны спирали.
А энергия при этом будет больше в 4 раза.
Рассмотрим радиус n-ой зоны Френеля:
Тогда по теореме
Пифагора
Рассмотрим случай,
когда точки наблюдения находятся на
очень большом расстоянии от экрана с
отверстием, тогда
.
То есть в отверстие экрана попадает
малая часть 1ой зоны Френеля.
Если т. р будет приближаться к экрану ( уменьш.), радиус 1ой зоны Френеля будет уменьшаться и в отверстие экрана будет попадать всё большая ее часть.
При дальнейшем приближении экрана в отверстии будет умещаться 2ая зона Френеля и амплитуда будет убывать. Когда в отверстии экрана будут помещаться обе зоны Френеля, амплитуда колебаний будет равна нулю.
Рассмотрим большое количество монохроматических волн с различной частотой и волновым вектором, которые распространяются вдоль оси x
Тогда
Пусть интервал между соседними волновыми числами тоже одинаковый.
Таким образом при сложении большого числа монохроматических волн с различной частотой.
Следует заметить, что это равенство получено при определенных условиях.
В общем случае
.
В результате сложения большого числа монохроматических волн получается ограниченная в пространстве волновая функция (волновой пакет). Справедливо и обратное утверждение.
(Дисперсионное отношение)
В отсутствие дисперсии все фазовые скорости одинаковы.
При этом очевидно, что форма волнового пакета изменяться не будет. Если фазовые скорости будут различны для разных волн, то волновой пакет будет деформироваться при распространении и скорость его движения будет отлична от фазовой скорости.