2.13 Электромагнитные волны в вакууме.

Электромагнитное поле полностью описывается уравнением Максвелла, которые в вакууме будет иметь вид

(ρ=0,j=0)

• E=0; B=0; x E=-∂B/∂t; x B=(1/c²)(∂E/∂t); x ( x B)= x (∂E/c²∂t);

• ( B) – B( )= ( B) - ²B=(1/c²)(∂/∂t)( E)

- ²B=-(1/c²)(∂²B/∂t²); (∂²B/∂t²)+ c² B=0

Уравнение для вакуума совпадает с волновым уравнением решение которого было найдено в параграфе 2.1.

• x ( x E)=- (∂B/∂t); ( E)- ²E=-(∂/∂t)( x B);- ²E=-(1/c²)(∂²E/∂t²);

∂²E/∂t²+ c^{2 2}E=0

Таким же образом решение уравнения Максвелла в вакууме будет иметь вид волновых функций для простоты рассмотрим сначала случай гармонических волн E=E₀^i(ωt-kR);B= B₀^i(ωt-kR);

Т.е. мы имеем решение уравнения Максвелла в виде плоских монохроматических волн.

Подставим решение в уравнение Максвелла при этом учтем, что можно заменить ∂/∂R; E=0 ; => -ikE = 0 ; K E ; B = 0 ; -ikB = 0 ; K B ;

• x E=-(∂B/∂t)|-ikxE=-iωB ; kxe=-ωB ; x B=(1/ c²)( ∂E/∂t)-ik x B=(i/ c²)ωE

-k x B=(ω/ c²)E

k E=ωB ; E=(ω/k)B ; E=Bc

2.14 Энергия электромагнитного поля.

Вектор

Рассмотрим некоторый замкнутый объем, ограниченной поверхности, в которой существует электромагнитное поле. Предположим, что это поле обладает энергией, и тогда полная энергия электромагнитного поля в объеме будет

Вычислим скорость изменения энергии в объеме может протекать по двум причинам за счет переноса энергии через поверхность и за счет мощности всех сил действующих в системе смотри 2.4. Для вычисления энергии, переносимой через поверхность S введем вектор UB где V - скорость переноса энергии, которая называется вектором плотности потока энергии. Тогда энергия, переносимая в единицу времени через поверхность площадью dS будет,UVdS смотри уровни непрерывности т.е. это будет энергия, ^{выносимая из объема уменьшается на величину UVdS}

Если внутри объема имеются электрические заряды, то электромагнитное поле будет совершать работу, что приводит к изменению энергии поля ( работа магнитного поля равна 0)

В «Законы электрического тока» было показано, что мощность электромагнитных сил в единице объема вещества будет J E , поэтому за единицу времени энергия электромагнитного поля в объеме V изменяется на ^{величину-∫jEdV тогда ∫}_v^{(∂u/dt)dV=- uVdS-∫}_v^jedV

∫_v(∂u/∂t)dV+∫_v (uV)dV=-∫jEdV

Т.к. это равенство должно выполняться для любого объема то из равенства интегралов следует равенство подынтегрального выражения

(∂u/∂t)+ (uV)=-jE

Равен уравнению Максвелла в среде.

• E = p/ε₀ ; B = 0 ; x E = - ∂B/∂t ; x B = j/ε₀c² + (1/c²)∂E/∂t

-jE=(ε₀(∂E/∂t) – ε₀c² x B)E ; (E x B)= (E x B) + (E x B) =

= B( x E) – E( x B) ; -jE=(1/2)ε₀(∂E²/∂t) + ε₀c² ( (E x B) – B( x E) =

(1/2) ε₀ (∂E²/∂t) + ε₀c² (E x B) + ε₀c²B² (∂B/∂t) = (1/2) ε₀ (∂E²/∂t) + (ε₀c²/2)(∂B²/∂t) + ε₀ c² =(∂u/∂t) + (u V)

сравним u= ε₀E²/2 + ε₀c²B²/2 ; S = ε₀c² E x B ; Bc = E ; u = ε₀E² ;

S = ε₀c² E x B = ε₀c(E x B)V_p = ε₀E²V_p=uV_p ; |V_p|=c

Таким образом электромагнитное поле будет

u = ε₀E²/2 + ε₀c²B²/2