2.12. Приближение геометрической оптики. Уравнение Эйнштейна. Принцип Ферма.

В 2.10 было показано, что любую произвольную волновую функция можно записать в виде

f(R,t)=A(R,t)cos(θ(∆∂,t))

Поверхность в каждом точки которой θ(R,t)=const называется волновым фронтом. В общем случае это произвольная поверхность.

Р азобьем эту поверхность на участки такие что их можно менять плоскими.

Если при этом размер участка будет много больше длины волны , а время , в течении которого этот участок остается плоским много больше периода волны ,то можно говорить о приближении геометрической оптики . Рассмотрим один такой участок. Для простоты начало системы координат поместим на этот участок. Разложим фазу колебаний в степенной ряд

θ(R,t)= θ(0)+t(∂θ(0)/∂t)+x(∂θ/∂t)+y(∂θ/∂y)+z(∂θ/∂z)+…=θ(0)+(∂θ/∂t)t+R θ+…=θ(0)+ωt-kR…

в приближенной геометрической оптики рассматривается участок волнового фронта можно считать частью волны для которой фаза волны

ωk-kp V_p =ω/k

из этого следует , что в приближении геометрической оптики при разложении в ряд фазы можно ограничиться лишь первыми членами ряда

θ(R,t)=θ(0)+ωt-kR

В этом приближении можно считать произвольной волны совпадает с направлением вектора k в каждой точке волнового фронта как в плоской волне , а скорость распространения фазы будет

V_p²=ω²/( θ) ² – уравнение Эйнштейна

Путем называют линию касательной каждой точки которой является вектор k .Прицип Ферма для вывода которого разность фаз в двух точках пространства в один и тот же момент времени. Эту разность фаз можно вычислить интегрируя бесконечно малое клиз фазы в дот луча

∆θ=∫dθ

dθ=(∂θ/∂t)dt+VθdR ; dt=0 ; ∆θ=∫_1-2 θdR ; dR=dl ; θ=-k

градиент направлен по касательной к траектории V_p=ω/‌‌‌‌‌| θ‌| ; | θ|=ω/V_p

∆θ=∫_1-2 (ωdl)/V_p =ω∫_1-2dl/V_p

∫dl/V_p вычисляется вдоль луча и равен разности фаз в 1 и 2 величина постоянная и не зависящая от способа ее нахождения .Разность фаз можно вычислит по другой траектории , несовпадающей с лучом , но в этом случае полученный результат будет не правильным так как θ и dl не будут параллельны . Выбирая каждый раз другую траекторию не совпадающею с лучом мы будем получать разные результаты ∆θ будет зависеть от траектории , только в одном случае , когда траектория совпадает с лучом ∆θ но зависит от формы df/dx = 0 ; f=ax² ; f=a условие не зависимой функции и условие ее экстремума совпадает . Интеграл вычисленный вдоль луча и является экстремальным. Оказывается что траектория луча это минимальная величина. ∫dl/V_p ->min. Время распространения волны вдоль луча минимально это есть принцип Ферма. Рассмотрим форму луча между двумя точками в однородной среде. В однородной среде во всех точках фазовая скорость волны будет постоянна. ∫_1-2dL/V_p=V_p∫_1-2dL сводится к условию минимума ∫_1-2dL который представляет собой длину луча . Таким образом в однородной среде луч между 1 и 2 должен быть минимальной длины. Другими словами в однородной среде лучи - это линии. Рассмотрим форму луча между 1 и 2 находящихся в разных однородных средах.

т ак как в каждой среде луч это прямая линия , то общий луч будут состоять из двух прямых. Вроде распространения волны от точки 1 до точки 2 будет t=L₁/V_p1+ L₂/V_p2 ; L₁=√(h₁²+x²)

; L₂=√( h₂²+(L-x)²) ;

t=((√(h₁²+x²))/ V_p1)+(√( h₂²+(L-x)²))/ V_p2

dt/dx = 0 ;

(1/ V_p1)(x/√h₁²+x²)- (1/ V_p1)((L-x)/√(m²+(L-x)²)=0

sin α/sin β = V_p1/ V_p2

коэффициент преломления называется n=c/V_p для электромагнитных волн

sin α/sin β = n₂/n₁