По третьему закону Ньютона

| | = | |, | | = | |, (13)

следовательно, согласно (8,12,13)

= = mg(sin +kcos +1) (14)

Результирующая сила, действующая на блок со стороны нити,

= +

а ее модуль, как следует из рисунка

Т = T₁cos +T₂cos ,

Или, учитывая (14)

Т = mg(sin + kcos +1)cos

Проверим размерность

[F_д] = [mg] [sin +kcos +1] [cos ] =

Произведем расчет

F_д =2,5 9,8(sin30⁰+0,15 cos30⁰+1) (cos30⁰)=35H

Ответ: Fд = 35H

Пример 4. Тело массой 20 кг движется со скоростью 3,0 м/с и нагоняет второе тело массой 30 кг, движущееся со скоростью 1,0 м/с. Найти скорость тел после столкновения при неупругом и при упругом ударах. Считать, что тела движутся по одной прямой, а удар – центральный.

Дано: m=20кг, =3,0

m=30кг, =1,0

Найти: u_1, u_2.

Решение: Рассмотрим сначала неупругий удар. В этом случае после взаимодействия тела будут двигаться совместно с обшей скоростью ( рис. 15): u=u₁=u₂

Запишем для такой системы закон сохранения импульса, считая ее замкнутой:

при этом m = m₁ + m₂ – общая масса тел.

Направим ось координат (ось х на рис. 15) вдоль направления движения тел и найдем проекции импульсов взаимодействующих тел на эту ось:

m_{1 1} + m_{2 2} = mu

Следовательно,

Проверим размерность:

[ u ] = = =

Произведем расчет:

u = = 1,8 м/с

т.е. u₁ = u₂ = 1,8 м/с.

Рассмотрим теперь упругий удар тел, полагая, как и ранее, систему тел замкнутой, считая при этом, что первое тело после удара будет двигаться влево со скоростью , а второе – по-прежнему вправо со скоростью , (рис. 16). Запишем закон сохранения импульса для такой системы:

В проекциях на ось х, которую направим вправо по направлению первоначального движения шаров, можно записать

m_{1 1} + m_{2 2} = - m₁u₁ + m₂u₂ (1)

Уравнения (1) для решения задачи в данном случае оказывается недостаточно, т.к. число неизвестных (u₁ , u₂) больше количества уравнений.

Для решения задачи нам необходимо привлечь еще одно уравнение так, чтобы количество уравнений равнялось количеству неизвестных.

Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы взаимодействующих тел:

(2)

Преобразуем уравнение (2) к виду

, (3)

а уравнение (1) запишем таким образом

(4)

Разделим почленно друг на друга уравнение (3) и (4), полагая при этом, что

₁ + u₁ ≠ 0 , u₂ – ₂ ≠ 0

В результате получим

₁ – u₁ = u₂ + ₂ (5)

Решив (4) совместно с (5), получим:

,

Проверим размерность:

Проведем расчет

м/с

Отметим, что знак минус указывает на то, что направление скорости для первого тела выбрано нами неправильно: на самом деле тело после удара должно двигаться вправо с той же по величине скоростью

м/с

Ответ: u₁ = u₂ = 1,8 м/с - при неупругом ударе;

u₁ = 0,6 м/c, u₂ = 2,6 м/с - при упругом ударе

Пример 5. По ободу шкива, насаженного на общую ось Z с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m = 10кг (рис.18). На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы коле-

со со шкивом начало вращаться с частотой n = 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом относительно оси Z J_z = 0,42 кг · м² , радиус шкива R = 10 см.

Дано: m = 1,0 кг; n = 1,0 с^-1; J_z = 0,42 кг·м²; R = 0,10 м

Найти: h

Решение:

Задачу решим сначала силовым методом, а затем, используя закон сохранения механической энергии.

На груз действуют сила тяжести и сила натяжения нити , сообщая грузу ускорение (рис. 18), поэтому, по второму закону Ньютона

Или в проекциях на ось х, направленную вверх параллельно нити

Т – mg = - ma (1)

На шкив со стороны нити действует сила натяжения , момент М_z которой относительно оси вращения Z шкива

В тоже время, согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела

,

где - угловое ускорение шкива относительно оси Z , R – его радиус.

Поэтому

, (2)

Учитывая, что по третьему закону Ньютона

,

получим

TR = J_z ε _z (3)

Полагая, что проскальзывание нити относительно блока при движении груза отсутствует, и учитывая, что по условию задачи нить является невесомой и нерастяжимой, можно считать, что тангенциальное ускорение а_τ точки А, находящейся на ободе шкива, соприкасающейся с нитью, равно ускорению груза а :

а_τ = а , (4)

а скорость этой точки υ_А равна скорости груза υ:

υ_А= υ (5)

Т.к. а_τ = ε_z R , (6)

то, совместно решив (1) , (3) и (6) , с учетом (4) получим

(7)

Высота h, на которую опустится груз

,

где – скорость груза на высоте h, ₀ – его начальная скорость.

По условию задачи ₀ = 0,

следовательно (8)

Cкорость точки А на ободе шкива

_A = ,

где ω_z – угловая скорость шкива относительно оси Z.

Поэтому, учитывая (5)

(9)

Как известно, ω_z = 2πn. (10)

Следовательно, учитывая (7) и (10), окончательно получим

(11)

Так как силы, действующие в системе груз-шкив-колесо являются консервативными, задачу можно решить, используя закон сохранения механической энергии.

До начала движения груза полная механическая энергия Е₁ системы

была равна ее потенциальной энергии:

Е₁ = mgh , (12)

а после опускания груза на высоту h полная механическая энергия системы Е₂ равна сумме кинетической энергии вращательного движения колеса со шкивом и кинетической энергии груза:

или, учитывая, что = ω_z R

(13)

По закону сохранения механической энергии

Е₁ = Е₂ ,

следовательно,

(14)

или с учетом (10)

,

т.е. получили тот же самый результат.

Проверим размерность:

Произведем расчет:

Ответ: h = 0,87 м.

Пример 6. Маятник в виде сплошного однородного шара массой М = 10,0 кг и радиусом R = 15 см может качаться вокруг горизонтальной

оси Z, проходящей через конец тонкой невесомой нерастяжимой нити, длина которой равна радиусу шара R (рис.19). В центр шара попадает пуля массой m= 10,0 г, летевшая горизонтально со скоростью = 800 м/с, и застревает в нем. На какой угол после этого отклонится нить? маятника?

Дано: m = 10,0 г ; = 800 м/с; М = 10,0 кг; R = = 15 см.

Найти: α.

Решение. До попадания пули на шар действуют сила тяжести М и сила натяжения нити .

Линии действия этих сил проходят через ось вращения Z, поэтому момент сил, действующих на шар до удара равен нулю.

Масса пули гораздо меньше массы шара, а удар пули о шар происходит очень быстро, т.е. можно считать, что существенного смещения шара за время удара не произойдет. Следовательно, сразу же после удара результирующий момент сил, действующих на систему, практически не изменится и по-прежнему будет равен нулю. Поэтому к такой системе можно применить закон сохранения момента импульса. Т.е. для моментов импульса системы относительно оси Z (рис.19) можно записать.

L_1Z = L_2Z , (1)

где L_1Z – момент импульса системы до удара, L_2Z – после удара.

Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули:

L_1Z = m ( + R), (2)

а после удара – системы пуля – маятник:

L_2Z = J_Z ω_Z , (3)

где J_Z – момент инерции системы, ω_Z – ее угловая скорость относительно оси вращения Z.

Поэтому (1) запишется с учетом (2) и (3) следующим образом:

m ( + R) = J_Z ω_Z (4)

Момент инерции системы J_Z складывается из моментов инерции шара J_шz и пули J_пz :

J_z = J_шz + J_пz ,

или

(5)

Момент инерции шара относительно оси вращения Z найдем по теореме Штейнера:

Т.к. по условию задачи = R , (6)

то

J_шz = 4,4 МR² (7)

Момент инерции пули относительно оси Z найдем как для материальной точки, т.к. размеры пули малы по сравнению с расстоянием до оси вращения Z

J_пz = m ( + R)²

или, с учетом (6)

J_п = 4 mR² (8)

Следовательно

,

Подставим числовые значения

,

т.е. можно считать, что << 1 (9)

Поэтому (5) и (4) приобретают следующий вид

J_z = J_шz , (10)

m ( +R) = J_шzω_z (11)

В процессе удара механическая энергия системы не сохраняется, переходя частично во внутреннюю. Однако после удара механическая энергия движущейся системы маятник - пуля будет сохраняться, т.к. после удара в системе действуют только консервативные силы.

Следовательно, при подъеме шара вместе с пулей кинетическая энергия вращательного движения системы будет переходить в потенциальную энергию поднятых тел :

, (12)

где h – высота, на которую поднимется центр масс системы.

Т.к. по условию задачи

m << M

и нить невесомая то, учитывая (10), запишем (12) в виде

(13)

Решив совместно (11) и (13), получим

(14)

Из рис. 19 следует, что

Поэтому с учетом (6) и (14), окончательно получим

(15)

Проверим размерность

Следовательно,

Произведем расчет

Ответ: α = 26˚.