Закон сохранения момента импульса

Если момент внешних сил , действующих на систему, равен нулю, то в такой системе момент импульса является величиной постоянной:

Для частного случая системы, состоящей из двух тел, имеющих до взаимодействия моменты импульсов и , а после взаимодействия – моменты и , соответственно, закон сохранения момента импульса записывается следующим образом:

Отметим также, что если момент внешних сил, действующих на систему, не равен нулю, но проекция этого момента на некоторое направление, например, на произвольную ось z равна нулю, то проекция момента импульса такой системы на это направление является величиной постоянной:

Момент инерции. Теорема Штейнера.

Во вращательном движении мерой инертности является физическая величина, называемая моментом инерции.

Различают моменты инерции материальной точки и тела.

Под моментом инерции материальной точки относительно произвольной оси z понимается произведение массы этой точки m_i на квадрат ее расстояния r_i до оси вращения:

J_zi = m_i r_i² ,

а под моментом инерции тела относительно оси z – сумма моментов инерции материальных точек или частей, составляющих это тело:

J_z =

В случае непрерывного распределения масс в теле эта сумма сводится к интегралу

J_z = ,

где r – расстояние элементарной массы dm от оси вращения z.

Интегрирование здесь производится по всей массе тела.

Для расчета моментов инерции может использоваться теорема Штейнера:

момент инерции тела относительно произвольной оси z, не проходящей через центр масс тела, равен моменту инерции J_z0 этого тела относительно оси z₀ , параллельной данной оси и проходящей через центр масс тела (рис 9), плюс произведение массы m этого тела на квадрат расстояния d между осями:

J_z = J_z0 + md²

Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел

Моменты инерции относительно оси Z₀, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости основания сплошного цилиндра (диска) радиусом R и массой m

J_z0 = mR²;

полого цилиндра массой m, внутренним радиусом R₁ и внешним R₂

J_z0 = ;

тонкостенного полого цилиндра (обруча) массой m радиусами R₁ R₂ R

J_z0 = mR² .

Момент инерции шара массой m и радиусом R относительно оси Z₀, проходящей через центр масс

J_z0 = mR²

Момент инерции тонкого стержня массой m и длиной относительно оси Z₀, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно его оси

J_z0 = m

Основное уравнение динамики вращательного движения

Производная по времени t проекции момента импульса тела или системы тел на произвольную ось Z равна проекции на эту ось моментов внешних сил , действующих на это тело или систему:

Учитывая, что

,

где - моменты инерции, а - угловые скорости материальных точек такой системы или тела относительно произвольной оси Z, получим

Последнее уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения.

В случае, если проекция на ось Z моментов внешних сил , действующих на тело или систему равна нулю, то

В частности, если система состоит только из двух тел

J_1zω_1z + ω_2z = ,

где ω_1z, - угловые скорости первого, а ω_2z , - второго тела соответственно до и после взаимодействия; J_1z , - момент инерции первого, а J_2z , - второго тела до и после взаимодействия относительно оси z.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, т.е. тело расстояние между двумя любыми точками которого остается неизменным в процессе движения.

В случае вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной произвольной оси Z, все точки такого тела, за исключением точек, находящихся на оси вращения, будут иметь одинаковые скорости:

,

а момент инерции будет величиной постоянной:

.

Поэтому применительно к абсолютно твердому телу основное уравнение вращательного движения приобретает следующий вид

Обозначив

,

а

,

и учитывая, что

,

где , угловое ускорение твердого тела относительно оси Z, окончательно получим

.