Поэтому, учитывая, что

= ωR , (3)

где ω – угловая скорость, получим, подставив (3) в (2):

а_n = ω²R (4)

Модуль тангенциального ускорения a_τ связан с угловым ускорением ε:

a_τ = εR (5)

Поэтому, подставив (4) и (5) в (1), получим

tg α = (6)

По условию задачи диск вращается равноускоренно, а его начальная угловая скорость ω₀=0. Поэтому зависимости угла поворота φ радиус-вектора и угловой скорости ω точки М от времени t найдем по формулам

φ = , (7)

ω= (8)

Решая совместно (7) и (8), получим

φ = (9)

Выразив ε из формулы (9) и подставив его в (6), получим

tg α = 2φ

Отсюда, учитывая, что

φ = 2πN ,

где N – число оборотов диска, будем иметь

tg α = 4πN ,

т.е. α = arctg (4πN) .

Проверим размерность:

[α] = [ аrctg (4πN)] = рад .

Произведем расчет:

α = arctg (4π · 2) 1,5 рад 88°

Ответ: α = 88˚

Пример 3. Через блок, укрепленный в вершине наклонной плоскости, перекинута невесомая нерастяжимая нить с двумя грузами одинаковой массы m = 2,5 кг (рис.13). Найти силу давления на ось блока, если коэффициент трения k между наклонной плоскостью и лежащим на ней грузом равен 0,15, а угол наклона плоскости равен 30˚. Трением в блоке и его массой пренебречь.

Дано: m = 2,5 кг; k = 0,15; α = 30˚

Найти:F_д.

Решение:

На первый груз, находящийся на наклонной плоскости, действуют сила натяжения нити , сила реакции опоры , сила трения и сила тяжести m_{1 ,} сообщающие телу ускорение (рис. 13).

Поэтому, согласно второму закону Ньютона , (1)

или в проекциях на ось х₁ , которую мы направим параллельно наклонной плоскости по направлению движения первого груза

Т₁ - - m₁gsinα = m₁a (2)

В проекциях на ось у₁, направленную перпендикулярно наклонной плоскости, получим

N₁ – m₁gcosα = 0,

т.е. N₁ = m₁gcosα

Т.к. по третьему закону Ньютона

| | = | _д | ,

где _д - сила нормального давления первого груза на наклонную плоскость, то

= km₁gcosα (3)

Подставив (3) в (2), получим

Т₁ – kmgcosα – m₁gsinα = m₁a₁ (4)

На второй груз действуют сила натяжения нити и сила тяжести . Поэтому по второму закону Ньютона

(5)

или в проекциях на ось х₂ , направленную вверх вдоль нити

Т₂ – m₂g = - m₂a₂ (6)

т.к. по условию задачи массы грузов одинаковы

m₁ = m₂ = m , (7)

блок является невесомым, а нить – невесомой и нерастяжимой, то

| | = | | =T (8)

| | = | | = a (9)

Тогда с учетом (7-9) уравнения (4) и (6) будут выглядеть следующим образом:

Т- kmg cos -mgsin =ma (10)

Т-mg=-ma. (11)

Решив эту систему уравнений, получим

Т= mg (sin +kcos +1) (12)

Cо стороны нити на блок действует силы натяжения нити и