Кинетическая энергия и работа при вращательном движении абсолютно твердого тела

Кинетическая энергия Т абсолютно твердого тела, имеющего момент инерции J_z и угловую скорость ω_z относительно неподвижной оси вращения z

Т = J_zω_z²

Твердое тело может совершать плоское движение, при котором все точки такого тела движутся в параллельных плоскостях.

Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного и вращательного движения.

Кинетическая энергия при плоском движении катящегося без скольжения вращающегося твердого тела массой m, имеющего скорость поступательного движения центра масс (рис. 10)

Т = ,

где - момент инерции, а - угловая скорость твердого тела относительно оси z, проходящей через центр масс этого тела.

Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz

А =

Изменение кинетической энергии ΔТ вращающегося твердого тела равняется работе А внешних сил :

ΔТ = А

Примеры решения задач

Пример 1. Небольшое тело бросили под углом =60⁰ к горизонту. Во сколько раз дальность его полета S больше максимальной высоты подъема тела h_m ? Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: =60⁰

Н айти: n=

Решение:

Рассматривая тело как материальную точку, движущуюся в координатах x,y (рис.11) запишем зависимость высоты подъема тела h от времени t:

, (1) где ₀ – начальная скорость тела, а g –ускорение свободного падения.

При подъеме тела на него действует сила тяжести, поэтому вертикальная составляющая скорости тела

_у = sinα – gt (2)

уменьшается, достигая в верхней точке траектории (точка С на рис. 11) нулевого значения. Отсюда время подъема t_n тела

t_n = (3)

Подставив (3) в (1) , получим максимальную высоту подъема h_m:

h_m = (4)

Т.к. по условию задачи сопротивление движению тела отсутствует, то горизонтальная составляющая скорости υ_х не изменяется:

= cosα = const ,

а время подъема t_n равно времени спуска t_c.

Следовательно, полное время движения тела

t = 2t_n = , (5)

а дальность полета S

S = _xt = (6)

Учитывая, что sin α 0 и cos α 0 , получим, используя (4) и (6):

n = =

Проверим размерность величины n:

[ n ] = = 1

и произведем расчет

n = = 2,3

Ответ: n = 2,3

Пример 2. Найти угол α между векторами скорости и полного ускорения точки М, лежащей на ободе равноускоренно вращающегося диска в момент, когда диск совершит первые два оборота после начала вращения.

Дано: N = 2

Найти: α.

Решение:

Разложим вектор ускорения точки М на две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис.12).

Следовательно,

tg α = (1)

Модуль нормального ускорения

а_n = , (2)

где – скорость, R – радиус окружности, (равный радиусу диска), которую описывает точка М в процессе движения вместе с диском.