vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 8. Потери давления в заколонном пространстве

7. Линейные потери давления при движении псевдопластичной ("степенной") жидкости в трубах.

7.1. Профиль скоростей при ламинарном движении в трубах.

Реологическая модель псевдопластичной жидкости выражается уравнением:

	du		n
К
		.
	dy
Реологическая функция:
				1
	du
					n
				.
	dy
			K

		расстояние от оси потока в трубе, м
0,12	0,1	0,08	0,06	0,04	0,02
			Показатель нелинейности
				n = 0,2	n=0,3
				n=0,4	n=0,5
				n=0,6	n=0,7
				n=0,8	n=0,9
				n=1,0

(7.1)

(7.2)

0

0
0,02
0,04	м/с
	,
	потока
0,06	скорость
0,08

0,1

Рис. 7.1. Изменение скорости по сечению потока степенной жидкости при одном и том же перепаде давления.

Условия расчета: потери давления 1000 Па; длина трубы – 1000 м; диаметр трубы 200 мм; коэффициент консистентности 0,036 Па*с.

Подставив это выражение в дифференциальное уравнение (4.10) и решив его в пределах изменения у от 0 до R, получим:

			1
	n		p
					n
u						R
	1 n		2lK

n 1			n 1
n		y n				(7.3)
					.

При n = 1 это уравнение превращается в формулу (5.8).

56

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 8. Потери давления в заколонном пространстве

Реологическая модель (7.1) подразумевает отсутствие прочности структуры ( о= 0) и, следовательно, отсутствие структурного ядра. Применительно к буровым растворам для бурения n всегда меньше 1. На рис. 7.1. показано, как изменяется профиль скорости по сечению потока при различных значениях n и неизменной величине коэффициента консистентности K. Все эпюры следует сравнивать с параболой, соответствующей n=1,0. С уменьшением n наблюдается деформация профиля, который становится все более приплюснутым в центре и более крутым на периферии. С уменьшением n показатель степени при у и R увеличивается и, например, при n=0,4 становится равным 3,5.

С точки зрения замещения одной жидкости другой при ламинарном течении очевидно более предпочтительными представляются "степенные" жидкости с меньшими значениями n.

Примечание: здесь уместно напомнить о недостатках степенной модели, о чем говорилось в "Ведении" и будет сказано в следующем подразделе.

7.2. Расчет потерь давления при ламинарном движении.

Для получения расчетной формулы, как было показано ранее, необходимо составить уравнение расхода с использованием функции (7.3):

R

n

p

1

n 1

n 1

n

Q 2

R

n

y

n

ydy

n 1

2lK

.

0

Интегрирование этого уравнения с последующей заменой R на d даст следующий результат:

	p 23n 2		3n 1 n Q n							l
		K
			n	d 3n 1 .
	После несложных преобразований:
		4Kl 8 3n 1					Q			n
	p
		d		n		d		3 .

При использовании v вместо Q формула примет вид:

	2 n	3n 1		n	v		n
p 2				K				l
						n 1			.
		n			d

(7.4)

(7.4)'

(7.5)

57

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 8. Потери давления в заколонном пространстве

Потери давления, Па

30000
		Показатель
		нелинейности
25000	n=0,2	n=0,3	n=0,4
	n=0,5	n=0,6	n=0,7
20000	n=0,8	n=0,9	n=1,0
15000
10000
5000
0
	0	0,001	0,002	0,003
		Расход жидкости,	куб. м /с

Рис. 7.2. Зависимость потерь давления в трубе диаметром 200 мм и длиной 1000 м при движении псевдопластичной жидкости с

параметрами по "степенной" модели: К=0,4 Па*с и различных значениях n.

Оценим, как влияет изменение Q на изменение p. Из формул (7.4) и (7.5) следует, что при	n <1 темп
роста p отстает от темпа увеличения Q. Сравним это с вязкой жидкостью, где между Q и p	линейная

зависимость. Получается, что использование степенной жидкости с энергетической точки зрения весьма выгодно. Вместе с тем результаты расчета, приведенные на рис. 7.2, свидетельствуют о том, что такое утверждение не всегда справедливо.

Из рис. 7.2 видно, что при расходах менее 1 дм3/с потери давления, найденные по формулам (7.4) или (7.4)' существенно больше, чем при движении вязкой жидкости с n=1, вязкость которой равна 0,4 Па*с. Разумеется, такой вывод противоречит практике. Видно также, что при Q, равном приблизительно 0,9…1,0 дм3/с потери давления не зависят от показателя нелинейности, что тоже вызывает возражение. И только при Q > 1 дм3/с начинается "ожидаемое" уменьшение потерь давления.

Вывод очевиден: расчетные формулы, полученные на основе так называемой степенной реологической модели, не применимы при малых расходах, где они дают либо противоречащие здравому смыслу результаты, либо приводят к недопустимым погрешностям (в сторону завышения потерь). Пробные расчеты показали, что расход жидкости, соответствующий пересечению линий давления зависит преимущественно от диаметра труб: с уменьшением диаметра он тоже уменьшается.

Из анализа рис. 7.1 и 7.2 следует принципиально важный вывод об отсутствии логической связи между коэффициентом консистентности и динамической вязкостью вязкой жидкости, с которой сравнивается реологическое поведение псевдопластичной жидкости. Величина K не имеет физического смысла. Это не вязкость жидкости-прототипа, хотя и имеет размерность вязкости. Коэффициент К следует рассматривать только как коэффициент уравнения аппроксимации, полученного при реологических исследованиях. Одно и то

же исследование может быть описано (с сопоставимыми показателями тесноты связи)	различными
комбинациями K и n, использование которых для определения потерь даст совершенно разные	результаты, в

58

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 8. Потери давления в заколонном пространстве

том числе явно нелепые. Ясно, что такой результат отражает несовершенство уравнения (7.1), с помощью которого пытаются описать реологическое поведение жидкостей, называемых псевдопластичными.

7.3. Потери давления при турбулентном режиме движения степенной жидкости в трубах.

В настоящее время нет единого, общепринятого, метода определения потерь давления при движении степенной жидкости в турбулентном режиме.

Е.Г. Леонов и В.И. Исаев (Гидроаэромеханика в бурении. М.: Недра, 1987) предлагают традиционный метод - использование формулы Дарси-Вейсбаха. При этом величину советуют вычислять по известной формуле Блазиуса

λ=0,3164/Re0,25,

а для шероховатых труб – по формуле Альтшуля, которые, строго говоря, предназначены для вязких жидкостей.

Известна ещё одна методика, менее всего теоретически обоснованная, но вполне допустимая к применению для инженерных расчетов. Суть её сводится к формуле:

p

где

p	кр

pкр

4Kl d

		1,8
	Q
Q			,
	кр
	8 3n 1 Q					n
			кр
		n	d	3

.

(7.6.)

(7.7)

Сравним теперь формулы (7.7) и (7.4)'. Обнаружим без труда, что pкр - это потери давления при ламинарном режиме, но при Q = Qкр. Иначе говоря, "последние" потери давления перед переходом в турбулентный режим.

Методика расчета будет окончательно сформулирована, если дать формулу для определения Qкр. В упомянутом учебнике Е.Г. Леонова и В. И. Исаева предлагается формула:

		K
Q
	2100		n
кр		d

			3n 1		n		1,2
	n 3
2
			n

1 2 n

. (7.8)

Н. Маковей (Гидравлика бурения. М.: Недра, 1986) считает, что более других подтверждается опытными данными методика, основанная на определении Reкр :

Re	кр

6464 f ' n

,

(7.9)

где

f n

Турбулентный режим наступает, когда число Рейнольдса, определяемое по формуле:

	2			n 2
			1	n 2
	3n 1
					.
	n		2 n

Reст > Reкр , где Reст - приведенное (для степенной модели)

		n			n Q 2 n
Re		27 3n
	ст							24 3n K .
		3n 1								(7.10)

В момент, когда Reст = Reкр , Q = Qкр . Следовательно,

59

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 8. Потери давления в заколонном пространстве

				4 3n			3n n			n
	Re	кр	d			K
Q								n
				2
кр					7 3n

1 2 n

. (7.11)

60