vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе.

4.1. Уравнения скорости потока жидкости в круглой трубе.

4.1.1. Основное уравнение равномерного движения.

Равномерное движение - основная разновидность движения буровой промывочной жидкости в круглых трубах (бурильных, обсадных или насосно-компрессорных). Дело в том, что подача насосов, как правило, постоянна, а сечение труб по их длине тоже не может меняться (за исключением соединений труб).

Рассмотрим состояние динамического равновесия цилиндрического объёма жидкости, двигающегося равномерно по трубе под действием перепада давления р=р1–р2 (рис. 4.1). Сила внешняя, поддерживающая движение жидкого цилиндра длиной l и радиусом у, равна y2 . Сила сопротивления сосредоточена на внешней поверхности цилиндра и является результатом возникновения касательных напряжений из-за разницы скоростей движения различных слоев на радиусе y. Величина этой силы равна произведению поверхности цилиндра на его длину: 2 yl .

	l
	τ
0	R
	τ
	y	R	p
p			2
1

Рис. 4.1. Эпюра напряжений в круглой трубе.

При равномерном движении обе силы равны:

y2p = 2 yl , yp = 2l ,

p = 2 yl .

При y = R (на стенке трубы) = R. Тогда

p	2l	R
	R

Из уравнения (2.1.) следует, что

.

(4.1)

(4.2)

							py
							2l .				(4.3)
При y = 0	= 0, а при y = R	= R. Из формулы (4.3.) следует, что зависимость касательных напряжении
от расстояния y	имеет линейный характер, причем, на самой оси напряжение равно нулю. Эпюра напряжений
для круглых труб показана на рис. 4.1. Из неё видно, что справедливо соотношение
								y
				R				R .

Следовательно,

41

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

или

y



	R		y
	R
R
		R

.

(4.4)

(4.5.)

Если бы существовали методы определения R (касательных напряжений на стенке трубы), то по формуле (4.2) можно было бы вычислить линейные потери давления при ламинарном движении любой жидкости в круглых трубах. К сожалению, такое невозможно, что вынуждает нас продолжить поиск расчетной формулы.

4.1.2. Движение вязкопластичной жидкости. Структурное ядро потока.

Вязкопластичная жидкость, как известно, обладает структурной прочностью, мерой которой является реологический параметр o. На рис. 4.2 показаны три эпюры, соответствующие трём перепадам давления. Эпюра 1 отображает начало движения, когда действующее давление p едва-едва превышает сопротивление движению со стороны жидкости:

p			2l	o
	o		R
				,	(4.6)

при этом напряжение на стенке R практически равно прочности жидкости o. Сдвиговый (градиентный) слой очень мал и располагается на стенке. Во всех иных точках сечения потока о и потому вязкопластичная жидкость (ВПЖ) движется как твердое тело. Эпюра скоростей для этого случая показана на рис. 4.3 (вариант 1). С увеличением подачи насосов возрастут потери давления, но линейный характер зависимости = f(y) сохранится (вариант 2 на рис. 4.2.); эпюра скоростей займет положение 2 (pиc. 4.З.). Состояние равенства действующего напряжения и прочности о будет иметь место на радиусе y = rо (рис. 4.2.). Следовательно, между rо и R будет градиентный сдвиговой слой, где скорость будет возрастать от нуля на стенке (y = R) до максимального значения uo на поверхности структурного ядра с радиусом ro .

0	τ
	o
	τ	τ
	R1	R2
		r	R
	r	o
	o

Рис. 4.2. Влияние расхода на размеры структурного ядра потока вязкопластичной жидкости в круглой трубе.

Если еще раз увеличить подачу, то в соответствии с уравнением (4.3) эпюра касательных напряжений между слоями жидкости "автоматически" увеличится, на стенке будет напряжение R (положение 3 на рис. 4.2.), а скорость структурного ядра возрастает до uо (рис. 4.3), но слой, где = о , неизбежно переместится при этом на радиус у =ro. Иначе говоря, увеличение p , вызванное

42

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

0	u

1	2	3	4	5
		u
		o

0

Рис. 4.3. Эпюра скоростей в сечении потока вязкопластичной жидкости при различных расходах и режимах движения.

увеличением подачи, сопровождается немедленным уменьшением радиуса структурного ядра потока и увеличением размеров градиентного слоя. Для сравнения на рис. 4.3 показана эпюра скоростей при ламинарном движении вязкой (ньютоновской) жидкости (вариант 4). Как известно, эпюра представлена всегда параболой с максимальной скоростью в центре потока. Это может быть только потому, что вязкие жидкости не имеют начальной прочности.

Сказанное относительно изменения ro имеет большое значение в случае вытеснения одной ВПЖ в трубах другой жидкостью. Чем больше радиус структурного ядра, тем лучше проходит замещение вытесняемой жидкости вытесняющей. Чем ближе эпюра скоростей к варианту 1, тем меньше зона смещения жидкостей при вытеснении. Самым худшим вариантом является параболическая эпюра, к которой стремится и ВПЖ по мере приближения к турбулентному режиму, когда rо стремится к нулю.

4.1.3.Вывод уравнения, описывающего профиль (эпюру) скоростей

вкруглой трубе при ламинарном или структурном режиме движения.

Отправных моментов два:

-доказанный ранее факт прямолинейности эпюры напряжении в круглой трубе; это выражается формулами (4.1) и (4.3);

-существование строгой количественной зависимости между и градиентом скорости du/dy, что конкретно выражается реологическими моделями.

Первый момент, как было показано, сводится, в частности, к соотношению (4.5):

y R .

R

Дифференцируя, имеем:

dy	R	d
			.	(4.7)
	R

43

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

Рис. 4.4. К выводу уравнения расхода вязкопластичной жидкости.

Второй момент свидетельствует о существовании реологического уравнения

f

dudy

  

,

а, следовательно, и обратной ей, так называемой реологической функции:

du dy

.

(4.8)

Здесь знак (−) должен быть потому, что скорость u с увеличением y уменьшается (знаки приращений u и y не совпадают).

Например, для ВПЖ реологическое уравнение имеет вид:

			du
	o
			dy
а реологическая функция:
		du			o
		dy

Из (4.8) получаем

-du= ( )dy.

Подставим в это выражение для dy из (4.7):

(4.9)

	R				R
			d
du						d	.
	R				R

Интегрируем в пределах изменения u

и по сечению в направлении изменения у от текущего у до R:

0			R			R	d
	du							,
u				R
u		R	R d .
		R						(4.10)

Уравнение (4.10) в наиболее общем виде описывает эпюру скоростей. Для его решения достаточно подставить конкретное выражение реологической функции φ(τ).

44