vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

4.1.4. Вывод уравнения профиля скоростей для случая движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе при структурном режиме движения.

Подставим в уравнение (4.10) реологическую функцию (4.9):

u

R

R

d

R

R 0 d

R

R d

R

R

R

R

2

2

R

R

2

R

R

1

2

2

0

R

0

2

2

R

R

R

Чтобы избавиться от R , вспомним уравнение (4.2), из которого следует:

R R 0dR

	R
		0 1
					R

.

				pR
		R		2l	.

Подставим (4.11) в последний результат и одновременно заменим

(4.11)

/ R на y/R в соответствии с (4.4):

	pR	2			y	2			R o			y
u
			1							1			.
					R	2
	4 L											R

Окончательно:

u	p	R	2	y	2			o	R
	4 l

Ранее было показано (см. раздел 4.1.2), что при y = ro u = uo , где структурного ядра. Следовательно,

y	(4.12)
.

uo скорость движения "твердого"

u

p

R

2

r

2

o

R

o

4 l

o

Выразим p в последнем уравнении через остальные:

R r

p u

4 l

o

R

r

o

o

2

2

R

2

o

p u

4 l

4

o

l

o

R

2

r

2

R r

o

o

r			.
	o
4 l
r	2
o

.

,

(4.13)

(4.14)

На первый взгляд может показаться, что искомая формула для определения линейных потерь давления p для случая структурного движения ВПЖ в трубах найдена. Но это не так. Дело в том, что измерить или какимто косвенным методом вычислить uo , ro практически невозможно. Формула (2.14) не имеет практического значения, но имеют конкретное значение уравнения (4.12) и (4.13), в чем мы убедимся, если познакомимся с материалом следующего подраздела.

4.2. Формула Букингэма (уравнение расхода вязкопластичной жидкости).

4.2.1. Вывод формулы Букингэма.
Нашей целью является получение такой формулы для определения			p , в которой использовались бы
параметры, нахождение которых не вызывало бы затруднений. Вместо переменной скорости				u по сечению
предпочтительнее пользоваться средней скоростью v или расходом Q.
Вместо неопределенного радиуса rо лучше иметь дело с радиусом трубы R или диаметром d.
Расход потока ВПЖ при структурном режиме	Q	можно	определить, если	просуммировать
(проинтегрировать) расходы элементарных кольцевых струек с толщиной			dy по всему сечению потока (рис. 4.
4). В градиентном слое расход струйки dQГ выражается уравнением

45

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

dQГ = 2 ydyu .

(4.15)

В ядре

dQo = 2 ydyuo .

(4.16)

Тогда общий расход Q:

R

r

o

Q 2

ydyu

ydyu

o

.

r

o

o

Заменим u и uo на их выражения из формул (2.12) и (2.13):

R

R

o

Q 2

p

R2

y2 ydy 2

R y ydy

r

4 l

r

o

o

r

R

ydy 2

r

o

p

o

R r

ydy

2

2

r

2

o

.

4 l

o

o

o

Интегрирование этого выражения дает результат:

	R	4	p		4 r
Q				1	o
	8 l				3 R

	1	r			4
			o
	3	R

.

(4.17)

Докажем, что ro/R можно заменить на po/p, где

p	o

po - начальное давление, определяемое по формуле (4.6):

	2	l
	o	.
	R

Из условия динамического равновесия движущегося структурного ядра следует, что

p	2	o	l
	r
	o

Отсюда:

.

(4.18)

	p		r
	o		o
	p		R

.

(4.19)

В результате уравнение (4.17) приобретает вид, вполне пригодный для выполнения практических расчетов:

	R	4	p		4	p
Q				1
						o
	8 l				3	p

po p

	4

.

(4.20)

Это уравнение носит имя Букингэма, и было получено им в 1921 году.

В этом уравнении искомая величина потерь давления p не может быть в явном виде выражена через другие. Если задаваться расходом Q и другими параметрами (l, R, , o ), то величину p можно вычислить численным методом. В уравнении (4.20) величина po определяется предварительно по формуле (4.6). Если подставить (4.6) в уравнение (4.20), то получим:

	4				2l o
	Q R p		4
		1
	8 l		3		Rp

		1			2l o
		3			Rp

4
		.	(4.21)

Решение, полученное Букингэмом, называют точным. Но при этом следует добавить: при условии, что реологическое уравнение полностью соответствует уравнению

46

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

	o

du dy

.

Это значит, что при изменении du/dy от нуля до любых действительных значений в пределах структурного и ламинарного движения реограмма не должна отклоняться от прямой, что, как было ранее показано, не всегда бывает, например, в модели Шведова (с начальным криволинейным участком).

Отношение po /p близко к единице при Q, близких к нулю. При расходах, характерных для процесса бурения скважины (как при роторном, так и турбинном бурении), po/p может существенно отличаться от 1 и приближаться к 0,5.

4.2.2. Приведение формулы Букингэма к критериальному виду.

Численное решение уравнения (4.21) можно быстро выполнить только при наличии ЭВМ или, по меньшей мере, программируемых микрокалькуляторов. Гродде предложил оригинальный метод решения уравнения Букингэма с привлечением вспомогательного графика.

Обозначим po/p через и разделим обе части уравнения (4.20) на Q :

1	R4 P		4		1			4
	1
	8 lQ		3		3

Это выражение можно представить и так:

1			8					lQ
		4			4			R	4
	1					p
		3		3

Умножим и разделим правую часть на po:

.

					po
		8
												lQ
1						p
	1		4						4			R4 .
		3							3

Если выразить Q через v и сечение канала трубы, перейти oт R к диаметру d, а также выразить po по

формуле (4.6), то получим выражение:
1		8					v
								.
		4		4			d
1		3		3	0

Разделим обе части на (ηv/τd):

	d
o
v

8

14 1 4

3 3

.

Правая часть не имеет размерности, так как - относительная величина. Следовательно, и левая часть - величина безразмерная и известна под названием "критерий Сен-Венана - Ильюшина":

	Sen		d
		o
		v

В результате получаем:

.

(4.22)

47

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Часть II. Раздел 4. Уравнение расхода для структурного режима движения вязкопластичной жидкости в круглой трубе

	Sen			8
			4		1	4 .		(4.23)
	1
			3		3

Функцию = f(Sen) по этому уравнению Гродде представил в виде графика в полулогарифмических координатах. Порядок вычислений при этом следующий. Вначале вычисляют для рассматриваемого случая Sen по формуле (4.22). Затем по специальному вспомогательному графику функции (4.23) находят величину . Искомую величину потерь давления р определяют из соотношения

p	p		2	l		4	l
	o		o			o
			R			d

Упомянутый график функции = f(Sen) можно найти в Гидроаэромеханика в бурении. - М.: Недра, 1987. - С. 72.

. (4.24)

книге: Е. Г. Леонов, В. И. Исаев.

48