4. Звіт з лабораторної роботи повинен містити

• вихідні дані;

• результати обчислень лінійного і степеневого рівнянь регресії двома способами;

• результати обчислень параболічного рівняння регресії та значущості його коефіцієнтів;

• графік кореляційного поля та ліній теоретичних кривих;

• висновки.

5. Приклади обчислення рівнянь регресії

Нехай дана наступна статистична вибірка про вік дітей (х) та кількість викликів дільничного лікаря (у):

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	8	11	10	16	16	20	19	25	24	23

Установити залежність кількість викликів дільничного лікаря (у) від віку дітей (х) у лінійній та степеневій формі із застосуванням стандартного метода найменших квадратів та убудованої функції ЛИНЕЙН(...) процесора електронних таблиць MS Excel, а також у параболічній формі із застосуванням убудованої функції ЛИНЕЙН(...) процесора електронних таблиць MS Excel.

Для кожної моделі оцінити значущість коефіцієнтів кореляції і регресії, адекватність рівняння регресії.

Побудувати графік кореляційного поля та лінії отриманих теоретичних кривих.

Проаналізувати, яке з отриманих рівнянь регресії більш точно описує залежність у від х.

Сформулювати висновки.

5.1. Обчислення лінійного рівняння методом найменших квадратів.

Складаємо розрахункову табл. 5 (стовпчики 1-5).

Таблиця 5

	1	2	3	4	5	6	7
	1	8	1	64	8	8,64	0,40
	2	11	4	121	22	10,54	0,21
	3	10	9	100	30	12,44	5,97
	4	16	16	256	64	14,35	2,74
	5	16	25	256	80	16,25	0,06
	6	20	36	400	120	18,15	3,42
	7	19	49	361	133	20,05	1,11
	8	25	64	625	200	21,96	9,26
	9	24	81	576	216	23,86	0,019
	10	23	100	529	230	25,76	7,64
	55	172	385	3288	1103	172	30,82
	5,5	17,2	38,5	328,8	110,3	17,2	3,082

1) 5,5; 17,2;

2) 2,872281; 5,741084;

3) 0,952092;

4) 1,90303; 6,733333;

5) 0,10812;

6. 1,962914;

7. 1,340925; 0,21611;

8. 8,805854; 5,021408; 8,805854;

9. F = 77,54306.

5.2. Обчислення рівняння регресії з використанням убудованої функції ЛИНЕЙН(…). Отримаємо

1,90303	6,733333
0,21611	1,340925
0,90648	1,962914
77,54306	8
298,7758	30,82424

Як видно, результати обчислень за допомогою убудованої функції ЛИНЕЙН(…) і методом найменших квадратів ідентичні.

Висновок: лінійне рівняння регресії має вигляд .

Коефіцієнт кореляції , тому взаємозв’язок між віком дитини (х) та кількістю викликів дільничного лікаря (у) можна вважати сильним. Крім того цей взаємозв’язок є прямим, тобто при збільшенні віку дитини (х) загальна кількість викликів лікаря (у) також збільшується (в середньому це збільшення складає 1,9 виклики). Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,906, тобто 90,6% варіації кількості викликів (у) обумовлено варіацією віку дитини (х), а 9,4% - впливом інших факторів. Розрахункові значення , і більше табличного значення ( 2,31), тому коефіцієнт кореляції і коефіцієнти лінійного рівняння регресії значущі. Тому що розрахункове значення статистики Фішера для лінійного рівняння більше табличного (F_табл(1; 8; 0,05) = 5,32), то лінійне рівняння регресії адекватно описує залежність кількості викликів дільничного лікаря (y) від віку дитини (x).

2. Обчислення степеневого рівняння регресії методом найменших квадратів.

Складаємо розрахункову табл. 6 (стовпчики 1-7).

Таблиця 6

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1	8	0	2,079442	0	4,324077	0	7,37	0,40
	2	11	0,693147	2,397895	0,480453	5,749902	1,662094	10,55	0,20
	3	10	1,098612	2,302585	1,206949	5,301898	2,529648	13,02	9,12
	4	16	1,386294	2,772589	1,921812	7,687248	3,843624	15,11	0,79
	5	16	1,609438	2,772589	2,59029	7,687248	4,462309	16,96	0,93
	6	20	1,791759	2,995732	3,210402	8,974412	5,367632	18,64	1,84
	7	19	1,94591	2,944439	3,786566	8,669721	5,729614	20,19	1,42
	8	25	2,079442	3,218876	4,324077	10,36116	6,693464	21,64	11,31
	9	24	2,197225	3,178054	4,827796	10,10003	6,982898	23,0	1,00
	10	23	2,302585	3,135494	5,301898	9,831324	7,219742	24,29	1,66
	55	172	15,10441	27,79769	27,65024	78,68702	44,49103	170,78	28,66
	5,5	17,2	1,510441	2,779769	2,765024	7,868702	4,449103	17,07	2,87

1) 1,510441; 2,779769;

2) 0,695407; 0,376276;

3) 0,95704;

4) 0,51784; 1,9976; 7,37134;

5) 0,10251;

6) 0,12198;

7) 0,09224; 0,05547;

8) 9,335675; 21,6574; 9,33567;

9) 87,15482.

5.4. Обчислення степеневої моделі за допомогою убудованої функції ЛИНЕЙН(…). Отримаємо

0,517842	1,997599
0,055469	0,092236
0,915926	0,121981
87,15482	8
1,296802	0,119034

_.

Висновок: степеневе рівняння регресії має вигляд .

Коефіцієнт кореляції , тому взаємозв’язок між віком дитини (х) та кількістю викликів дільничного лікаря (у) можна вважати сильним. Крім того цей взаємозв’язок є прямим, тобто при збільшенні віку дитини (х) загальна кількість викликів лікаря (у) також збільшується. Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,916, тобто 91,6% варіації кількості викликів (у) обумовлено варіацією віку дитини (х), а 8,4% – впливом інших факторів. Розрахункові значення , і більше табличного значення ( 2,31), тому коефіцієнт кореляції і коефіцієнти степеневого рівняння регресії значущі. Тому що розрахункове значення статистики Фішера для степеневого рівняння більше табличного (F_табл(1; 8; 0,05) = 5,32), то степеневе рівняння регресії адекватно описує залежність кількості викликів дільничного лікаря (y) від віку дитини (x).

5.3. Обчислення параболічного рівняння регресії за допомогою убудованої функції ЛИНЕЙН(…).

Складаємо розрахункову табл. 7 (стовпчики 1-3).

Таблиця 7

	1	2	3	4	5
	1	1	8	7,36	0,40
	2	4	11	10,12	0,78
	3	9	10	12,65	7,05
	4	16	16	14,98	1,04
	5	25	16	17,10	1,20
	6	36	20	19,00	1,00
	7	49	19	20,69	2,86
	8	64	25	22,17	8,01
	9	81	24	23,44	0,32
	10	100	23	24,49	2,22
	55	385	172	172	24,88
	1	1	8	7,36	0,40

• розраховуємо параболічне рівняння регресії та його статистичні характеристики за допомогою функції ЛИНЕЙН(...) (категорія «Статистичні» майстра функцій)

  -0,10606	3,06970	4,40000
  0,08205	0,92616	2,21759
  0,92450	1,88547	#Н/Д
  42,85753	7	#Н/Д
  304,71515	24,88485	#Н/Д

• розраховуємо значущість коефіцієнтів регресії

t_a = 1,9841; t_b1 = 3,3144; t_b2 = 1,2926;

Висновок: параболічне рівняння регресії має вигляд

.

Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,9245, тобто 92,45% варіації кількості викликів (у) обумовлено варіацією віку дитини (х), а 7,55% – впливом інших факторів. Розрахункові значення і менше табличного значення ( 2,37), тому коефіцієнти а та b₂ параболічного рівняння регресії не значущі, а більше табличного значення, тому коефіцієнт b₁ – значущий. Тому що розрахункове значення статистики Фішера для параболічного рівняння більше табличного (F_табл(2; 7; 0,05) = 4,74), то параболічне рівняння регресії адекватно описує залежність кількості викликів дільничного лікаря (y) від віку дитини (x).

4. Будуємо графік кореляційного поля та лінії отриманих теоретичних кривих.

Рис. 1. Залежність у від х

5.5. Зіставимо розраховані рівняння.

Маючи a і b, розраховуємо і (табл. 2 стовпчик 6-7, табл. 3 стовпчик 8-9, табл. 7 стовпчики 4-5) та (підсумок стовпчиків _{відповідних таблиць).}

Висновок: тому що для параболічної моделі менше ніж для лінійної та степеневої, то можна сказати, що в даному випадку параболічна модель більш точно описує залежність кількості викликів дільничного лікаря (y) від віку дитини (x).