Министерство образования российской федерации
___________________________________________
Казанский государственный энергетический университет
Желифонов М.П.
Элементы теории функций комплексноого переменного
Опорные конспекты лекций
Казань 2005
УДК 517.31
ББК 22.161.1
Ж51
Желифонов М.П.
Элементы теории функций комплексного переменного. Казань: Каз. гос. энерг. ун-т, 2004.
Работа включает краткие теоретические сведения по теме «Теория функций комплексного переменного». Определение комплексных чисел и действий над ними. Понятие функции комплексной переменной (ФКП), определение элементарных ФКП и их свойств. Геометрический смысл ФКП, конформное отображение. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Разложение ФКП в ряд Лорана. Теорема о вычетах и её приложение к вычислению интегралов. В работе приводятся все исходные определения теории ФКП и доказательства основных теорем.
Работа предназначена для первичного знакомства студентов с базовыми понятиями и основными моментами теории ФКП.
© Казанский государственный энергетический университет, 2003
Цель работы
Первичное знакомство студентов КГЭУ с базовыми понятиями, определениями и основными моментами теории функций комплексного переменного, а также приобретение практических навыков по работе с комплексными числами, дифференцировании и интегрировании функций комплексного переменного. Учебный материал по составу и объему соответствует втузовской программе по высшей математике. Он представлен в четкой, сжатой форме, даны все исходные определения и доказательства основных теорем.
Комплексные числа
Решение алгебраических уравнений – важнейшая задача математики. Стремление сделать разрешимыми уравнения различных типов приводит к необходимости расширения понятия числа.
Вид уравнения Тип числа ____ Множество:
x + a = b отрицательные и 0
a x = b дробные
====== > Q - рациональных чисел
x 2 = 2 иррациональные
=======> R - действительных чисел
x2 + 1 = 0 комплексные
========= > C - комплексных чисел
Корень уравнения х2 = - 1 наз. мнимой единицей и обозначается символом i (Эйлер). Символ i определяется условием i 2 = - 1 .
Опр.
Комплексным
числом (КЧ)
наз.
выражение вида
а + b
i
, где
а, b
R
, i
- мнимая
единица.
Обозначения: a + b i = z , a = Re z - действительная часть КЧ, b i - мнимая часть КЧ, b = Im z - коэффициент мнимой части.
При а = 0 имеем чисто мнимое число, при b = 0 - действительное число. КЧ z = a + b i и z* = a – b i наз. сопряженными, а форма записи КЧ алгебраической.
Пр. Решим уравнение x2 – 2x + 5 = 0 .
x1,2
= ( 2
)/2
= 1
= 1
= 1
= 1
2
i
Таким образом, корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются сопряженные КЧ.
Равенство КЧ. a + b i= c+ d i означает равенство коэффициентов: a= c, b= d.
Сложение КЧ. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i - означает раздельное сложение вещественных и мнимых частей. (Это два определения.)
Пр. z1 = 2 – 3i, z2 = 1 + 4i , z1 + z2 = 3 + i , z + z* = 2a
Умножение КЧ. (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i
Это обычное перемножение двучленов с учетом i 2 = - 1 .
Пр. z1 z2 = 14 + 5 i , z z* = (a + b i) (a - b i) = a2 + b2
т.е. произведение сопряженных КЧ есть число действительное.
Деление КЧ. Частным от деления двух КЧ z1 / z2 является третье КЧ z3 , произведение которого на делитель дает делимое z3 z2 = z1.
Для того чтобы разделить два КЧ необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на КЧ сопряженное знаменателю.
a + b i = (a + b i) (c – d i) = (a c + b d) + (b c – a d) i
c + d i (c + d i) (c – d i) c2 + d2
Пр. z1 / z2 = - 10/17 - 11/17 i
Степени i. i1 = i i4 n + 1 = i
i2 = - 1 i4 n + 2 = - 1 Пр. i24 = 1, i59 = i 56+ 3 = - i
i3 = - i i4 n + 3 = - i
i4 = 1 i4 n = 1