Вычисление вычетов
Пусть
f(z)
имеет полюс первого порядка. Тогда она
представляется в виде f(z)
=
и рядом Лоранаf(z)
=
.
Умножимf(z)
на (z
- a)
и перейдем к пределу
lim
f(z)
(z
- a)
= lim
=
( 49 )
т.е.
вычет функции с полюсом первого порядка
в точке а
равен пределу
произведения функции на множитель (z
- a)
при
.
При вычислении предела в ( 49 ) используем правило Лопиталя
lim
=
lim
=lim
=
=res
f(z)
(
50 )
т.е. для определения вычета достаточно значение числителя функции в точке а разделить на значение производной от знаменателя в этой точке.
Если f(z) имеет в точке а полюс порядка n, то разложение этой функции в ряд Лорана ( 46 ) умножим на (z - a)n
(z
- a)n
f(z)
=
+
(z
- a)
+
…+
(z
- a)n
-1
+
(z
- a)n
,
( 51 )
(n
- 1) раз продифференцируем и получим (n
- 1)!
+
.
Переход
к пределу
исключает второе слагаемое и определит
вычет
=
( 52 )
Пр.
Найти вычеты функции f
(z)
=
.
Решение. Полюсами являются точки z = 1, z = 3 .
=
(z
- 1)
=
= -1/2
=
(z
- 3)
=
= 3/2
или
по формуле ( 47 ) :
, тогда
=
,
=
Пр.
Найти вычеты функции f(z)
=
.
Решение. Здесь z = 2 - полюс третьего порядка, тогда по ( 52 ) имеем
=
=
Определение порядка полюса
Пусть f(z) имеет в точке а полюс порядка n и принимает вид
f(z)
=
+
+
. . . +
+
(z).
Рассмотрим
f(z),
где k
произвольно, и перейдем к пределу
. Приk
< n
получим
,
при k
> n
получим 0
и только при
k
= n
получим
конечное число
, т.е. условие
(
53 )
определяет порядок полюса для f(z) в точке z = a путем подбора числа k .
Перейдем
к обратной функции
.
Приz
= a
она обращается в 0 и её всегда можно
представить в виде
=
=
где
аналитическая функция и
.
Числоn
определяет порядок
нуля для
приz
= a
и порядок полюса для f
(z).
Будем последовательно дифференцировать
и переходить к пределу
.
Первый не нулевой результат появится
только после вычисленияn
– ой производной. Таким образом, для
определения порядка полюса функции f
(z),
имеющей вид дроби, достаточно выполнить
одно из следующих действий : 1) представить
её знаменатель в виде
;
2) вычислять значения производных её
знаменателя до первого ненулевого
результата.
Пр.
.
f(z)
=
при
имеем полюс.
Определим его порядок. Первый способ: проведем разложение знаменателя в ряд
нуль
2 порядка.
Второй способ: определим порядок нуля знаменателя дифференцированием
,
Имеем полюс 2 порядка.
Пр. Определить тип особой точки z = 0 для функции
.
Решение.
f(z)=
.
Определим порядок нуля числителя и
знаменателя.
имеет
ноль 2 порядка (см. выше).
=
= 0,
=
= 0,
=
= 0,
=
= 0,
=
= 32
имеем ноль 5 порядка.
=
,
т.е. функцияf(z)
при
имеет полюс 3 порядка.
Вычислим
производную от логарифма функции f(z)
=
=
вычет производной дает порядок полюса
функции.
Вычисление интегралов
A)
Пр. Вычислить J
=
,
если
-окружности:
1) |z
| = 1; 2)
| z
| = 3;
3)
| z
| = 5.
Решение. Найдем вычеты относительно полюсов z = 0 , z = - 2 , z = - 4
=
z
f(z)
=
= 1/8
=
(z
+ 2) f(z)
=
= - ¼
=
(z
+ 4) f(z)
=
= 1/8
1)
Внутри окружности | z
| =1 находится
один полюс z
= 0
J1=2
i(
)
=
i/4
2)
Внутри окружности | z
| = 3
находятся
полюсы z
= 0, z
=-2
J2
= 2
i(
)
= -
i
/ 4.
3)
Внутри окружности |
z
| = 5 находятся
полюсы z
= 0, z
=-2, z
=-4
J3
= 2
i(
)
= 0 .
Б)
Рассмотрим
интегралы вида
.
Здесь от действительной переменнойх
легко перейти
к комплексной переменной z.
Тогда интегрирование будет производиться
вдоль замкнутой окружности с учетом
теоремы о вычетах.
Пусть
а
= 0 и
,т.е.z
является комплексной переменной с
модулем r
= 1 и аргументом
х (
.
Ей соответствует окружность |z
| = 1 . Тогда
;
;
и
переходим к интегралу
.
Интервал
приводит только к другой точке начала
движения по окружности.
Пр.
.
Пусть
,
тогда
,
,
,
=
=
.
Подынтегральная функция имеет две
изолированные особые точки, которые
являются полюсами 1 порядка. Но в
окружность радиуса 1 попадает только
полюс
и интеграл равен вычету в этой точке
,
.
В)
Пусть f
(z)
аналитическая
функция в верхней полуплоскости, включая
действительную ось, за исключением m
полюсов ai
расположенных
над осью Ох.
Кроме того, lim
z2
f(z)
= C
– конечное
число при | z
|
,
т.е. на
бесконечности функция становится
двукратной нулевой точкой (условие
Жордана). Построим замкнутый контур L,
состоящий из оси Ох
и полу-окружности радиуса R
.
Тогда
=
+
, но
в
силу условия Жордана
= 0, и определенный интеграл от
функции
действительной
переменной
f(x)
будет
равен сумме
вычетов функции f
(z)
в ai
J
=
=
(
54 )
Пр.
Вычислить J
=
.
Решение.
Рассмотрим функцию f
(z)
=
,
аналитическую в верхней полуплоскости,
за исключением полюса 2 порядка в 2i.
Проверка
условия Жордана :
=
=
= { z
= r
eit
} =
=
=
0 , т.е. конечное число
да.
Вычисление вычета по формуле ( 52 )
=
=
=
=
Ответ.
J
= 2
i
=
2
i
(
)
=
.