Показательная форма кч

Существует формула Эйлера exp(i) = cos + i sin, которая приводит к показательной форме КЧ

z = a + i b = r (cos+i sin) =r exp (i)

( I ) ( II ) ( III )

В алгебраической форме ( I ) КЧ удобно складывать и вычитать, а в тригонометрической форме ( II ) и в показательной ( Ш ) умножать, делить.

r₁ exp (i ₁) r₂ exp (i ₂) = r₁ r₂ exp i (₁ + ₂

r₁ exp (i₁) / r₂ exp (i₂) = r₁ / r₂ exp i (₁ - ₂

(r exp i )ⁿ = rⁿ exp i n

( r exp i )^1/n = r^1/n exp i (+ 2k)/n , k = 0,1,2,3, . . . , n - 1 .

Рассмотрим извлечение корней из действительных чисел. Пустьz = a и a > 0 , т.е. перед числом а стоит множитель 1 = (cos 0 + i sin 0) или – 1 = (cos + i sin). Тогда, при z > 0 z^1/n = а^1/n (cos + i sin), где k = 0,1,2, . . ., n – 1 , а при z < 0 z^1/n = а^1/n (cos + i sin),

Пр. = (cos 0 + i sin 0)^1/4 = cos 2k/4 + i sin 2k/4 , где k = 0,1,2, 3. Получаем корни :

z ₀ = (cos 0 + i sin 0) = 1, z ₁ = (cos /2 + i sin/2) =i , z ₂ = (cos + i sin) = - 1 ,z ₃ = (cos 3/2 + i sin3/2) = -i

Проверка : ( 1 )⁴ = ( i )⁴ = ( -1 )⁴ = ( -i )⁴ = 1 .

Пр. Вычислить (-81)^1/.4. Решение (-81)^{1/ 4} = (-1 81)^1/4 = (cos + i sin)^{1/ 4}=

= 3 ( cos (+ 2k)/4 +i sin (+ 2k)/4 ) ,k = 0, 1, 2, 3 .

z ₀ = 3( cos /4 +i sin /4 ) = 3/( 1 +i )

z ₁ = 3 ( cos (/4 +/2 ) +i sin(/4 +/2)) = 3/( 1 -i )

z ₂ = 3 ( cos (/4 +) +i sin(/4 +) ) = 3/( -1 -i )

z ₃ = 3 ( cos (/4 + 3/2) +i sin(/4 + 3/2)) = 3/( 1 -i )

Решения изображают вектора: r = 3, ₀ =/4, ₁ =3/4, ₂ =5/4, ₃ =7/4.

Таблица 1 . 0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰

sin 0 1/2 /2/2 1

cos 1 /2/2 ½ 0

Таблица 2

90⁰- 90⁰+ 180⁰- 180⁰+ 270⁰ - 270⁰ + 360⁰ - .

sin | sincoscossin- sin- cos- cos- sin

cos | cossin- sin- cos- cos- sinsincos

Пр. Даны z₁=12(cos225⁰ +i sin225⁰), z₂=3/2(cos75⁰ +i sin75⁰). Найти z₁z₂ , z₁/z₂. z₁ z₂ = 18(cos(225⁰+75⁰)+ i sin(225⁰+75⁰)) =18(cos(360⁰ – 60⁰)+ i sin(360⁰– 60⁰))=

= 18 (cos 60⁰ - i sin 60⁰ ) = 18 ( ½ - i /2 ) = 9 - 9i

z₁/z₂ = 8(cos(225⁰–75⁰) + i sin(225⁰–75⁰)) = 8(cos(180⁰–30⁰) + i sin(180⁰–30⁰)) =

= 8 (- cos 30⁰ + i sin 30⁰ ) = 8 ( - /2 + i ½ ) = - 4 + 4 i.

Области и линии на комплексной плоскости

От КЧ z = a + ib перейдем к комплексной переменной величине (КП) z = x + iy , где x, y могут изменяться в определенных пределах.

Опр. -окрестностью точки z₀ наз. множество всех точек z , для которых |z – z₀| <,> 0 . В проколотой - окрестности исключается сама точка z₀. Областью G комплексной плоскости наз. множество точек, каждая из которых имеет свою -окрестность и может быть соединена с другими точками непрерывной кривой. Границей области G наз. множество точек, которые не принадлежат G , но в ближайшей окрестности имеют точки из G.

Область комплексной плоскости, в пределах которой изменяется КП, наз. односвязной, если ее ограничивает непрерывная, замкнутая и не самопересекающаяся линия (кривая Жордана). Если область ограничена несколькими замкнутыми линиями (n), то она наз. многосвязной. В качестве дополнительного контура может быть отдельная точка или линия.

n = 1 n = 2 n = 3

Любую кривую на плоскости F(x,y) = 0 можно представить в комплексной форме. Произвести замену x = (z + z*)/2 , y = (z – z*)/2i. Например, уравнения оси Ох и биссектрисы у = х принимают вид: z + z* = 0, z – z*i = 0. Или использовать комплексное параметрическое представление z(t) = x(t) + i y(t). Например, параметрические уравнения эллипса x = a cos t , y = b sin t , 0 t 2принимают комплексную форму:z = a cos t + ib sin t. При a= b= r получаем уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат z = re^it или |z| = r. Этому уравнению удовлетворяют КЧ с одинаковым модулем и произвольным углом поворота. Если центр окружности смещен в т. z₀ = x₀ + i y₀ , то z = z₀ + re^it или |z – z₀| = r.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки z₁, z₂ принимает вид =, а уравнение /=/описывает окружность, проходящую через 3 точки z₁, z₂, z₂ . Общее уравнение окружности или прямой (А=0) в комплексной форме : .

Примеры простых областей: а) круг радиуса R с центром в z₀ : |z – z₀|R ; б) кольцо с центром в z₀ , ограниченное окружностями с радиусами r, R : r < |z – z₀| < R ; в) верхняя полуплоскость Im z > 0 , правая полуплоскость Re z > 0 ; г) прямоугольник |Re z| < 1 , |Im z| < 2 ; д) сектор /6 <arg z</6.