- •Министерство образования российской федерации
- •Казанский государственный энергетический университет
- •Элементы теории функций комплексноого переменного
- •Цель работы
- •Вид уравнения Тип числа ____ Множество:
- •Геометрическая интерпретация кч
- •Тригонометрическая форма кч
- •При перемножении и делении двух кч в тригонометрической форме
- •Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают
- •Показательная форма кч
- •Области и линии на комплексной плоскости
- •Ряды с кч
- •Определение функции комплексной переменной
- •Элементарные функции комплексной переменной
- •Производная фкп
- •Конформное отображение
- •Криволинейный интеграл от фкп
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Неопределенный интеграл от фкп
- •Основная теорема интегрального исчисления
- •Интегральная формула Коши
- •Бесконечные ряды
- •Нули функции
- •Ряд Лорана
- •Вычисление интегралов по формуле Коши
- •Теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов
- •Определение порядка полюса
- •Вычисление интегралов
- •Устные экзаменационные вопросы
Вычисление интегралов по формуле Коши
Рассмотрим интегралы вида J = , где контур L охватывает область D, - аналитическая функция вD, а - многочлен и один из его корнейа попадает в D. Тогда =и- аналитическая вD функция. В результате приходим к интегральной формуле Коши ( 39 ) и вычисляем интеграл
J = = 2if (a) = 2i ( 44 )
Если корень а в имеет кратностьn , то =и интеграл вычисляется с помощью формулы ( 40 )
J = = ( 45 )
Пр. Вычислить J = , где а) L: | z + 2i| = 1; b) L: | z | = 2.
Решение. Полином z3 +16z = z(z – 4i)(z + 4i) имеет корни z1= 0, z2 = 4i, z3 = -4i.
a) В круг | z+2i| = 1 они не попадают подынтегральная функция аналитическая в этом круге и по теореме КошиJ = 0.
b) В круг |z| = 2 попадает один корень z = 0 и по формуле ( 41 ) имеем
J = = 2i=
Пр. Вычислить =.
Пр. Вычислить J = , где L : |z - i| = 2 .
Решение. Особые точки – нули знаменателяz1= i , z2 = -2. В круг | z – i | = 2 попадает только корень i кратности 2. По формуле ( 42 )
J = = 2i =
= 2i =
Пр. Вычислить =
= = .
Теорема о вычетах
Рассмотрим общий подход к вычислению интегралов по замкнутому контуру L от функции f(z), которая аналитична в области охваченной контуром, но имеет в точке а полюс порядка n.
Если такую функцию представить в виде ряда Лорана и почленно проинтегрировать, то все члены ряда дадут нулевой вклад за исключением одного слагаемого. Это очень упрощает вычисления.
Имеем f(z) =++ . . . ++(z), ( 46 )
где правильная часть ряда Лорана (z) - аналитическая функция. Интеграл от неё по замкнутому контуру равен 0 (теорема Коши).
f(z)dz = A-n + . . . +A -1 + 0
Вокруг точки а опишем окружность радиусаr и получим кольцевую область, где функции аналитические. Тогда интеграл по внешнему контуруL+
можно заменить на интеграл по внутреннему контуру + ( 38 ) и вычислить его. Пусть z – a = r eit , тогда dz = ir eitdt , 0 t 2
,
=
где k 1 - произвольно. Таким образом, после интегрирования разложения функции f(z) в ряд Лорана все слагаемого, за вычетом одного, равны нулю.
Опр. Вычетом функции f(z) в точке а наз. коэффициент разложения функции в ряд Лорана по (z – a) при слагаемом 1/(z – a) .
Обозначения : или A -1 .
Пр. f(z) = =( ) =
Функция имеет полюс 5 порядка и её вычет равен A -1 = 1/24 .
Теорема. Значение интеграла по замкнутому контуру L, ограничивающему область D, от функции f(z) аналитической в D, за исключением полюса в точке а равно вычету функции в этой точке
f(z) dz = 2i A -1 ( 47 )
Если функция f(z) имеет в пределах контура L несколько полюсов а1, а2, . . . , аm , то интеграл равен сумме вычетов
f(z)dz = ( 48 )
Контур односвязной областиL` теперь включает m окружностей вокруг каждого полюса иm не пересекающихся разрезов. В результате интеграл по L+ будет равен сумме интегралов по .