- •Министерство образования российской федерации
- •Казанский государственный энергетический университет
- •Элементы теории функций комплексноого переменного
- •Цель работы
- •Вид уравнения Тип числа ____ Множество:
- •Геометрическая интерпретация кч
- •Тригонометрическая форма кч
- •При перемножении и делении двух кч в тригонометрической форме
- •Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают
- •Показательная форма кч
- •Области и линии на комплексной плоскости
- •Ряды с кч
- •Определение функции комплексной переменной
- •Элементарные функции комплексной переменной
- •Производная фкп
- •Конформное отображение
- •Криволинейный интеграл от фкп
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Неопределенный интеграл от фкп
- •Основная теорема интегрального исчисления
- •Интегральная формула Коши
- •Бесконечные ряды
- •Нули функции
- •Ряд Лорана
- •Вычисление интегралов по формуле Коши
- •Теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов
- •Определение порядка полюса
- •Вычисление интегралов
- •Устные экзаменационные вопросы
Геометрическая интерпретация кч
Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a+ bi соответствует точка M(a,b) на координатной плоскости или её радиус-вектор . Такая плоскость наз.комплексной плоскостью, ось Ох –
действительной осью,ось Оу - мнимой осью. Модулем КЧ наз. модуль радиус-вектора .
| z | = r = =
Аргументом КЧ z = a + i b (Arg z) наз. угол между Ох и . Он определяется неоднозначно, с точностью до 2. Главное значение аргумента: arg z = , - <<. Arg z = arg z + 2 k, k = 1,2,3, . .
Алгоритм вычисления аргумента:
1) найти острый угол = arctg |b/a| ; 2) определить квадрант, в котором находится ; 3) перейти от к по правилу: в 1 четверти = ; во 2 четверти = - ; в 3 четверти = + ; в 4 четверти = 2 – .
Пр. Найти аргумент z = 1 – i .
= arctg |–/1| = arctg = / 3 . Вектор лежит в 4 четверти , следовательно, Arg z = ( 2 – ) + 2 k = 5/3 + 2 k , k N.
Сложение двух КЧ геометрически означает сложение двух радиус-векторов.
Тригонометрическая форма кч
Коэффициенты КЧ (a + b i) можно выразить через модуль и аргумент:
{ cos =a/ r , sin =b/ r } {a = r cos,b = r sin }
и записать КЧ в форме z = r [ cos (+ 2 k ) + sin (+ 2 k ) ] ,
которая наз. тригонометрической формой КЧ.
Пр. Записать число z = - - i в тригонометрической форме.
Находим модуль r = [(-)2 + (-1)2 ]1/ 2 = 2. Определяем = arctg 1/ =/6. Вектор в 3 четверти arg z = +/ 6 = 7/ 6,
z = – – i = 2( cos7/ 6 + i sin 7/ 6 ).
Пр. Записать число z = 2 (cos 3300 + i sin 3300 ) в алгебраической форме.
cos 3300 = cos (3600– 300) = cos 300 =/2, sin 3300 = sin (3600– 300) = - sin 300= = -1/2 , тогда a = 2 (/ 2) =,b = 2 (-1/2) = -1 и z = -i .
При перемножении и делении двух кч в тригонометрической форме
z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1 ) , z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 )
Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают
z1 z2 = r1 r2 [ cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2 ) ]
z1 / z2 = r1 / r2 [ cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2 ) ]
z n = [ r ( cos + i sin )]n = r n ( cos n +i sin n )
= [ cos (+ 2k)/n + i sin (+ 2k)/n )] , где k = 0,1,2, . . ., n – 1 .
Две последние формулы наз. формулами Моавра. Умножение КЧ теперь сводится к умножению их модулей и сложению аргументов, а деление КЧ к делению модулей и вычитанию аргументов. Появление n решений при извлечении корня связано с тем, что все значения Arg z = ( + 2 k ) уменьшаются в n раз и самые первые n значений аргумента становятся меньше 3600 , т.е. становятся главными значениями аргумента - arg z . Они различны, но при возведении корней в степень n получаем одинаковый результат.
Пр. Пусть arg z = 400, тогда Arg z = arg z + 2k , где k = 0,1,2, . . . или
z 400 , 4000 , 7600 , 11200 ,… Имеем 1 главное значение аргумента.
z2 800 , 8000 , 15200 , 22400 , … Имеем 1 главное значение аргумента.
z1/2 200 , 2000 , 3800 , 5600 , … Имеем 2 главных значения аргумента.
z1/4 100 , 1000 , 1900 , 2800 , … Имеем 4 главных значения аргумента.